478. En un sistema de referencia cartesiano con origen en $\left( 0,0 \right)$, un peatón sigue la trayectoria de la recta que pasa por los puntos $A\ \left( -1,-2 \right)$ y $B\ \left( 3,4 \right)$ mientras que otro peatón sigue la trayectoria de la recta que pasa por los puntos $C\ \left( 2,1 \right)$ y $D\ \left( 3,3 \right)$. Entonces, el punto donde se encontrarán ambos peatones es:

a) La trayectoria de ambos peatones no se corta en ningún punto

b) $P\ \left( 5,7 \right)$

c) $P\ \left( {2}/{3}\;,{-1}/{5}\; \right)$

 

Si las trayectorias son rectas tendrán de ecuación $y=mx+n$ donde m es la pendiente de la recta (mide la inclinación) y n es la ordenada en el origen (indica el punto de corte de la recta con el eje vertical de ordenadas).

 

Calculemos primero la ecuación de la trayectoria del primer peatón, la recta que pasa por los puntos $A\ \left( -1,-2 \right)$ y $B\ \left( 3,4 \right)$:

 

si la recta pasa por el punto $A\ \left( -1,-2 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta:

 $-2=m\times (-1)+n\quad \Rightarrow \quad -2=-m+n$

 

igualmente si pasa por el punto $B\ \left( 3,4 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta:

$4=m\times (3)+n\quad \Rightarrow \quad 4=3m+n$.

 

Como pasa por ambos puntos, deben cumplirse ambas condiciones y obtenemos un sistema de ecuaciones cuya solución nos dará los valores de m y n:

 

y sustituyendo en alguna de las ecuaciones:

 

Por lo que la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A\ \left( -1,-2 \right)$ y $B\ \left( 3,4 \right)$ es:

 

$y=mx+n\quad \Rightarrow \quad y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$

 

De igual manera calcularemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos $C\ \left( 2,1 \right)$ y $D\ \left( 3,3 \right)$:

 

si la recta pasa por el punto $C\ \left( 2,1 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta:

$1=m\times (2)+n\quad \Rightarrow \quad 1=2m+n$

 

igualmente si pasa por el punto $D\ \left( 3,3 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta:

$3=m\times (3)+n\quad \Rightarrow \quad 3=3m+n$.

 

Como pasa por ambos puntos, deben cumplirse ambas condiciones y obtenemos un sistema de ecuaciones cuya solución nos dará los valores de m y n:

                                            

y sustituyendo en alguna de las ecuaciones:

 

Por lo que la ecuación de la recta que pasa por los puntos $C\ \left( 2,1 \right)$ y $D\ \left( 3,3 \right)$ es:

 

$y=mx+n\quad \Rightarrow \quad y=2x-3$

 

Analizando las ecuaciones de las dos rectas, $y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$ y $y=2x-3$, se observa que la pendiente de la primera es $m=\frac{3}{2}$ y la pendiente de la segunda es ${m}'=2$, es decir, las pendientes son distintas, las rectas tienen distinta inclinación, por lo que las dos rectas NO son paralelas y se cortarán en algún punto.

 

Y para calcular dicho punto de corte vale con considerar que si es el punto de corte de dos rectas, debe pertenecer a ambas, es decir, debe cumplir ambas ecuaciones y, por lo tanto, ser la solución del sistema de ecuaciones que podemos formar con ellas:

  

\[\Rightarrow \quad 2\times \left( 3-\frac{1}{2} \right)=2\times \left( 2x-\frac{3}{2}x \right)\quad \Rightarrow \]

\[ \Rightarrow \quad 6-1=4x-3x\quad \Rightarrow \quad 5=x\]

y sustituyendo en alguna de las ecuaciones:

 

$y=2x-3\quad \Rightarrow \quad y=2\times 5-3=10-3=7\quad \Rightarrow \quad y=7$

 

Y el punto de corte buscado es $P\ \left( 5,7 \right)$