217. Una persona sale de casa con $x$ €, y gasta en el desayuno $\left( {}^{x}\!\!\diagup\!\!{}_{15}\; \right)$ €, en almorzar $\left( {}^{x}\!\!\diagup\!\!{}_{5}\; \right)$ €, y al final de la tarde compra un libro gastando $\left( {}^{x}\!\!\diagup\!\!{}_{3}\; \right)$ € y vuelve a casa en taxi $\left( {}^{x}\!\!\diagup\!\!{}_{6}\; \right)$ €. Entre paréntesis figura la proporción de dinero gastado, sobrándole 35 €. Entonces, salió de casa con:

a) 150 €

b) 220 €

c) 180 €

Al inicio tiene $x$ €.

En total se gasta:

$\frac{x}{15}+\frac{x}{5}+\frac{x}{3}+\frac{x}{6}\quad =\quad \frac{x}{3\times 5}+\frac{x}{5}+\frac{x}{3}+\frac{x}{2\times 3}\quad =$

$=\quad \frac{2x}{3\times 5\times 2}+\frac{2\times 3\times x}{5\times 2\times 3}+\frac{2\times 5\times x}{3\times 2\times 5}+\frac{5x}{2\times 3\times 5}\quad =$

$=\quad \frac{2x+6x+10x+5x}{2\times 3\times 5}\quad =\quad \frac{23x}{30}$

Por los que los 35 € que le quedan representan en proporción:

\[x-\frac{23x}{30}\quad =\quad \frac{30x}{30}-\frac{23x}{30}\quad =\quad \frac{30x-23x}{30}\quad =\quad \frac{7x}{30}\]

De donde:

$\frac{7x}{30}\ =\ 35\quad \Rightarrow \quad 7x\ =\ 30\times 35\quad \Rightarrow \quad x\ =\ \frac{30\times 35}{7}\quad \Rightarrow $

Por lo que se ha gastado $\frac{x}{15}\ =\ \frac{150}{15}\ =\ 10$ € en desayunar, $\frac{x}{5}\ =\ \frac{150}{5}\ =\ 30$ € en almorzar, $\frac{x}{3}\ =\ \frac{150}{3}\ =\ 50$ € en el libro y $\frac{x}{6}\ =\ \frac{150}{6}\ =\ 25$ € en el taxi, sobrándole 35 €. Luego, efectivamente salió de casa con $10+30+50+25+35\ =\ 150$ €.