476. La función $f\left( x \right)=\frac{\left( 4-{{x}^{2}} \right)}{\left( 2+x \right)}$ cuando $x\to 2$

a) Tiene límite 0

b) Tiene límite 2

c) No tiene límite

 

La función $f\left( x \right)$ una función racional, un cociente de polinomios, por lo que existe, es continua y derivable en todos los puntos, excepto en “los ceros del denominador”, es decir en:

 

$2+x=0\quad \Rightarrow \quad x=-2$

 

Dado que debemos calcular el límite cuando $x\to 2$, que no es un “cero del denominador”, según lo dicho, en dicho punto la función existe, es continua y derivable por lo que adicionalmente el valor del límite debe coincidir con el valor de la función, es suficiente con darle a $x$ el valor que nos interesa:

 

$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\quad =\quad \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 4-{{x}^{2}} \right)}{\left( 2+x \right)}\quad =\quad f\left( 2 \right)\quad =$

 

$=\ \quad \frac{4-{{2}^{2}}}{2+2}\ \quad =\quad \frac{4-4}{4}\ \quad =\quad \frac{0}{4}\quad =\quad 0$

 

 

NOTA: además se cumple, para $x\ne -2$

 

$f\left( x \right)\ \ =\ \ \frac{\left( 4-{{x}^{2}} \right)}{\left( 2+x \right)}\ \ =\ \ \frac{\left( 2-x \right)\left( 2+x \right)}{\left( 2+x \right)}\ \ =\ \ 2-x$

 

Es decir, una recta de pendiente -1 y ordenada en el origen 2:

 

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