471. De una urna que contiene 5 bolas blancas y 6 negras se extraen dos bolas, sucesivamente, sin devolver la primera a la urna. La probabilidad de que la segunda bola sea blanca es:

a) ${7}/{55}\;$

b) ${5}/{11}\;$

c) ${9}/{11}\;$

 

Sólo hay dos maneras de que la segunda bola extraída sea blanca: o bien las dos bolas son blancas; o bien la primera es negra y la segunda blanca; y no se pueden dar al mismo tiempo, por lo que podremos aplicar la fórmula de la Probabilidad Total.

 

Si denominamos:

 

${{b}_{1}}\equiv $ “la primera bola extraída es blanca”

${{b}_{2}}\equiv $ “la segunda bola extraída es blanca”

${{n}_{1}}\equiv $ “la primera bola extraída es negra”

${{n}_{2}}\equiv $ “la segunda bola extraída es negra”

 

aplicando la fórmula de la Probabilidad Total tendremos:

 

$P(\text{segunda blanca})=P({{b}_{1}}\cap {{b}_{2}})+P\left( {{n}_{1}}\cap {{b}_{2}} \right)=$

$=P\left( {{b}_{1}} \right)P\left( {{b}_{2}}/{{b}_{1}} \right)+P\left( {{n}_{1}} \right)P\left( {{b}_{2}}/{{n}_{1}} \right)$

 

Calcularemos cada una de dichas probabilidades fijándonos en la composición de la urna en cada momento y aplicando la fórmula de Laplace:

 

$P\left( A \right)=\frac{\text{n }\!\!{}^\text{o}\!\!\text{ }\ \text{casos}\ \text{favorables}}{\text{n }\!\!{}^\text{o}\!\!\text{ }\ \text{casos}\ \text{posibles}}$

 

En el momento inicial la urna tiene 11 bolas, de las que 5 bolas son blancas y 6 negras, por lo que:

 

$P\left( {{n}_{1}} \right)=\frac{6}{11}\quad \text{y}\quad P\left( {{b}_{1}} \right)=\frac{5}{11}$

 

Si la primera bola extraída es negra, quedan 10 bolas, de las que 5 bolas son blancas y 5 negras, por lo que:

 

$P\left( {{b}_{2}}/{{n}_{1}} \right)=\frac{5}{10}$

 

Si la primera bola extraída es blanca, quedan 10 bolas, de las que 4 bolas son blancas y 6 negras, por lo que:

 

$P\left( {{b}_{2}}/{{b}_{1}} \right)=\frac{4}{10}$

 

Luego la probabilidad pedida quedará:

 

$P(\text{segunda blanca})=P\left( {{b}_{1}} \right)P\left( {{b}_{2}}/{{b}_{1}} \right)+P\left( {{n}_{1}} \right)P\left( {{b}_{2}}/{{n}_{1}} \right)=$

 

$=\frac{5}{11}\cdot \frac{4}{10}\ +\ \frac{6}{11}\cdot \frac{5}{10}\quad =\quad \frac{\not{5}\cdot \not{2}\cdot 2}{11\cdot \not{2}\cdot \not{5}}\ +\ \frac{\not{2}\cdot 3\cdot \not{5}}{11\cdot \not{2}\cdot \not{5}}\quad =$

 

$=\quad \frac{2}{11}\ +\ \frac{3}{11}\quad =\quad \frac{2+3}{11}\quad =\quad \frac{5}{11}$

 

También podríamos representar la resolución del ejercicio en un árbol de decisión donde en cada nivel representamos una fase del experimento aleatorio y sobre los arcos indicamos la probabilidad de que ocurra cada uno de los sucesos:

Elegimos los puntos finales que hacen que ocurra el suceso que nos interesa (recuadrados en rojo) y la probabilidad de llegar ahí es el producto de las probabilidades que aparecen en los arcos que hemos de recorrer y la probabilidad buscada es la suma de todos ellos. Así, según la gráfica:

 

$P(\text{mismo color})\quad =\quad \frac{5}{11}\cdot \frac{4}{10}\ +\ \frac{6}{11}\cdot \frac{5}{10}\quad =$

 

$=\quad \frac{\not{5}\cdot \not{2}\cdot 2}{11\cdot \not{2}\cdot \not{5}}\ +\ \frac{\not{2}\cdot 3\cdot \not{5}}{11\cdot \not{2}\cdot \not{5}}\quad =\quad \frac{2}{11}\ +\ \frac{3}{11}\quad =\quad \frac{2+3}{11}\quad =\quad \frac{5}{11}$

Que lógicamente son las mismas operaciones y resultado que las obtenidas aplicando la fórmula de la probabilidad total.