466. Si $f$ es la función \[f\left( x \right)=\frac{x-5}{{{x}^{2}}-25}\] se cumple:

a) $\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ =0$

b) $\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ ={}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{4}\;$

c) $\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ =\infty $

 

La función $f\left( x \right)$ una función racional, un cociente de polinomios, por lo que existe, es continua y derivable en todos los puntos, excepto en “los ceros del denominador”, es decir en:

 

${{x}^{2}}-25=0\quad \Rightarrow \quad {{x}^{2}}=25\quad \Rightarrow \quad x=\pm \sqrt{25}\quad \Rightarrow \quad x=\pm 5$

 

Dado que debemos calcular el límite cuando $x\to -1$, que no es un “cero del denominador”, según lo dicho, en dicho punto la función existe, es continua y derivable por lo que adicionalmente el valor del límite debe coincidir con el valor de la función, es suficiente con darle a $x$ el valor que nos interesa:

 

$\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\quad =\quad \underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-5}{{{x}^{2}}-25}\quad =\quad f\left( -1 \right)\quad =$

 

$=\ \quad \frac{-1-5}{{{\left( -1 \right)}^{2}}-25}\ \quad =\quad \frac{-6}{1-25}\ \quad =\quad \frac{-6}{-24}\quad =$

 

$=\quad \frac{{\not{6}}}{\not{6}\times 4}\quad =\quad \frac{1}{4}$

 

 

NOTA: además se cumple, para $x\ne 5$

 

$f\left( x \right)\ \ =\ \ \frac{x-5}{{{x}^{2}}-25}\ \ =\ \ \frac{x-5}{\left( x-5 \right)\left( x+5 \right)}\ \ =\ \ \frac{1}{x+5}$