464. Las rectas de ecuación

$2x=3y+8$

$x-2y=5$

a) son paralelas

b) se cortan en el punto (1,-2)

c) son perpendiculares

 

Toda ecuación de una recta se puede escribir como $y=mx+n$ (ecuación explícita) donde $m$ es la pendiente de la recta (mide la inclinación) y $n$ es la ordenada en el origen (indica el punto de corte de a recta con el eje vertical de ordenadas).

 

Dadas dos rectas, $y=mx+n$ y $y=m'x+n'$, serán paralelas si tienen la misma pendiente, la misma inclinación, $m=m'$; y serán perpendiculares si sus pendientes son “opuestas e inversas”, es decir $m=-\frac{1}{m'}$.

 

Busquemos las ecuaciones explícitas ($y=mx+n$) de las rectas que nos interesan para determinar sus pendientes:

 

$2x=3y+8\quad \Rightarrow \quad 2x-8=3y\quad \Rightarrow \quad y=\frac{2x-8}{3}\quad \Rightarrow $

 $\Rightarrow \quad y=\frac{2x}{3}-\frac{8}{3}\quad \Rightarrow \quad y=\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}\quad \Rightarrow \quad m=\frac{2}{3}$

 

$x-2y=5\quad \Rightarrow \quad x-5=2y\quad \Rightarrow \quad y=\frac{x-5}{2}\quad \Rightarrow $

 $\Rightarrow \quad y=\frac{x}{2}-\frac{5}{2}\quad \Rightarrow \quad y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\quad \Rightarrow \quad m'=\frac{1}{2}$

 

Y tenemos $m=\frac{2}{3}$ y $m'=\frac{1}{2}$, es decir, no son “opuestas e inversas” $\left( m'\ne -\frac{1}{m} \right)$ por lo dichas rectas NO son paralelas NI perpendiculares. Por lo tanto las rectas se cortan en un punto y no lo hacen perpendicularmente.

 

Para comprobar que el punto de corte es el propuesto, el punto (1,-2), podemos calcular en qué punto se cortan ambas rectas resolviendo el sistema que forman sus dos ecuaciones, o simplemente comprobar que dicho punto pertenece a ambas rectas, que satisface ambas ecuaciones:

 

$\left( 1,-2 \right)\in 2x=3y+8?:$

$2\cdot 1=3\cdot \left( -2 \right)+8\quad \Rightarrow \quad 2=-6+8=2\quad \Rightarrow \quad S\acute{I}$

 

$\left( 1,-2 \right)\in x-2y=5?:$

$1-2\cdot \left( -2 \right)=5\quad \Rightarrow \quad 1+4=5\quad \Rightarrow \quad S\acute{I}$

 

Luego las dos rectas se cortan en el punto (1,-2) pero no lo hacen perpendicularmente.