457. La función $f\left( x \right)=\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)$ tiene derivada

a) ${{x}^{2}}-2x-1$

b) $3{{x}^{2}}-4x+1$

c) $2{{x}^{2}}+x+1$

 

Calculando primero el producto:

 

$f\left( x \right)\quad =\quad \left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)\quad =\quad x\left( {{x}^{2}}+1 \right)-2\left( {{x}^{2}}+1 \right)\quad =$

 

$=\quad {{x}^{3}}+x-2{{x}^{2}}-2\quad =\quad {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x-2$

 

Y dado que la función se puede expresar:

 

$f\left( x \right)\quad =\quad {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x-2\quad =\quad 1\ \cdot \ {{x}^{3}}-2\ \cdot \ {{x}^{2}}+1\ \cdot \ {{x}^{1}}-2$

 

la derivada pedida se calcula:

 

$f'\left( x \right)\quad =\quad 1\ \cdot 3\ \cdot {{x}^{3-1}}-2\ \cdot \ 2\ \cdot \ {{x}^{2-1}}+1\ \cdot \ 1\ \cdot \ {{x}^{1-1}}+0\quad =$

 

$=\quad 3{{x}^{2}}-4{{x}^{1}}+1{{x}^{0}}\quad =\quad 3{{x}^{2}}-4x+1$