458. Un dado está cargado de manera que al lanzarlo, sus resultados elementales ocurren con la probabilidad indicada en la siguiente tabla

 

Resultado	1	2	3	4	5	6
Probabilidad	$p$	$2p$	$3p$	$4p$	$5p$	$6p$

 

Entonces, la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número menor o igual que es

a) ${}^{2}\!\!\diagup\!\!{}_{7}\;$

b) ${}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{6}\;$

c) ${}^{5}\!\!\diagup\!\!{}_{36}\;$

No es un dado perfectamente construido donde todos los sucesos simples se presentan con igual probabilidad. En este caso se trata de un dado cargado donde, por ejemplo, según los datos que figuran en el cuadro de probabilidades, sacar un 4 ($4p$) es el doble de fácil que sacar un 2 ($2p$).

 

Para que los datos ofrecidos representen realmente un modelo de probabilidad deben cumplir las tres condiciones que lo definen en un espacio finito:

 

1. Para todos los sucesos $A$, $0\le P(A)\le 1$.

2. Para el suceso seguro Ω, $P(\Omega )=1$

3. Dados $A$ y $B$ sucesos disjuntos $\left( A\cap B=\varnothing  \right)$, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

 

Analizando las condiciones, 2 y 3, tendríamos:

 

\[1=P(\Omega )=P\left( \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\} \right)=\]

\[=P\left( \left\{ 1 \right\}\cup \left\{ 2 \right\}\cup \left\{ 3 \right\}\cup \left\{ 4 \right\}\cup \left\{ 5 \right\}\cup \left\{ 6 \right\} \right)=\]

$=P\left( \left\{ 1 \right\} \right)+P\left( \left\{ 2 \right\} \right)+P\left( \left\{ 3 \right\} \right)+P\left( \left\{ 4 \right\} \right)+P\left( \left\{ 5 \right\} \right)+P\left( \left\{ 6 \right\} \right)$

 

Es decir, las probabilidades de los sucesos simples del modelo propuesto deben sumar 1.

 

En nuestro caso nos llevaría a:

 

Respecto a la condición 1, las probabilidades reseñadas en el cuadro para los sucesos simples serían:

 

$p=\frac{1}{21}\quad 2p=\frac{2}{21}\quad 3p=\frac{3}{21}\quad 4p=\frac{4}{21}\quad 5p=\frac{5}{21}\quad 6p=\frac{6}{21}$

 

Luego, cumplirían $0\le P(A)\le 1$

 

A partir de ahí, sabiendo que $p=\frac{1}{21}$ tendríamos:

 

\[P(\le 3)\quad =\quad P\left( \left\{ 1,2,3 \right\} \right)\quad =\quad =P\left( \left\{ 1 \right\}\cup \left\{ 2 \right\}\cup \left\{ 3 \right\} \right)\quad =\]

 

$=\quad P\left( \left\{ 1 \right\} \right)+P\left( \left\{ 2 \right\} \right)+P\left( \left\{ 3 \right\} \right)\quad =\quad p+2p+3p\quad =$

 

$=\quad 6p\quad =\quad 6\times \frac{1}{21}\quad =\quad \frac{6}{21}\quad =\quad \frac{\not{3}\times 2}{\not{3}\times 7}\quad =\quad \frac{2}{7}$