454. Sea el triángulo determinado por los puntos de coordenadas $A\left( 1,3 \right)$ y $B\left( 5,2 \right)$ y $C\left( 3,1 \right)$. Si consideramos que la base del triángulo es el segmento que una los puntos A y B, mientras que la altura es la perpendicular a dicha base desde el vértice C, entonces la pendiente de la recta determinada por dicha altura

a) no se puede calcular con los datos facilitados

b) es igual a ${}^{-1}\!\!\diagup\!\!{}_{4}\;$

c) es igual a 4

 

Consideramos como base del triángulo el segmento $\overline{AB}$ que une los puntos de coordenadas $A\left( 1,3 \right)$ y $B\left( 5,2 \right)$. Por lo tanto, la base del triángulo está contenida en la recta que pasa por dichos puntos $A\left( 1,3 \right)$ y $B\left( 5,2 \right)$. Y con esos datos podemos calcular la ecuación de dicha recta que contiene a la base.

 

Por ser una recta tendrá de ecuación $y=mx+n$ donde m es la pendiente de la recta (mide la inclinación) y n es la ordenada en el origen (indica el punto de corte de la recta con el eje vertical de ordenadas).

 

Si la recta pasa por el punto $A\left( 1,3 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta:

 

$3=m\times \left( 1 \right)+n\quad \Rightarrow \quad 3=m+n$

 

Igualmente si pasa por el punto $B\left( 5,2 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta:

 

$2=m\times (5)+n\quad \Rightarrow \quad 2=5m+n$.

 

Como pasa por ambos puntos, deben cumplirse ambas condiciones y obtenemos un sistema de ecuaciones cuya solución nos dará los valores de m y n:

  

Se trata de una recta de pendiente $m=\frac{-1}{4}$.

 

Si queremos terminar de calcular su ecuación, aunque no es necesario para la resolución del ejercicio, sustituyendo el valor obtenido en alguna de las ecuaciones:

 

Por lo que la ecuación de la recta que contiene a la base del triángulo y pasa por los puntos $A\left( 1,3 \right)$ y $B\left( 5,2 \right)$ es:

 

$y=mx+n\quad \Rightarrow \quad y=\frac{-1}{4}x+\frac{13}{4}$

 

Que, como hemos dicho, tiene pendiente $m=\frac{-1}{4}$ (el único dato imprescindible para continuar con la resolución del ejercicio).

 

La recta que determina la altura del triángulo debe ser perpendicular a la base y pasar por el tercer vértice $C\left( 3,1 \right)$.

 

Si dos rectas son perpendiculares, existe una clara relación entre sus pendientes. Si una de ella tiene por pendiente $m=a$, sus perpendiculares tendrán por pendiente $m'=-\frac{1}{a}$, es decir, son opuestas e inversas.

 

Dado que la recta que determina la base tiene pendiente $m=\frac{-1}{4}$, la recta que determina la altura, que es perpendicular a ella, tendrá de pendiente $m'=4$, opuesta e inversa.