446. La función $f\left( x \right)=\frac{\left( 9-{{x}^{2}} \right)}{\left( 3-x \right)}$ cuando $x\to 2$ tiene límite:

a) 5

b) $\infty $

c) 2

 

La función $f\left( x \right)$ una función racional, un cociente de polinomios, por lo que existe, es continua y derivable en todos los puntos, excepto en “los ceros del denominador”, es decir en:

 

$3-x=0\quad \Rightarrow \quad 3=x$

 

Dado que debemos calcular el límite cuando $x\to 2$, que no es un “cero del denominador”, según lo dicho, en dicho punto la función existe, es continua y derivable por lo que adicionalmente el valor del límite debe coincidir con el valor de la función, es suficiente con darle a $x$ el valor que nos interesa:

 

$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{9-{{x}^{2}}}{3-x}\ \ =\ \ f\left( 2 \right)=\ \ \frac{9-{{2}^{2}}}{3-2}\ \ =\ \ \frac{9-4}{1}\ \ =\ \ \frac{5}{1}=\ \ 5$

 

 

NOTA: además se cumple, para $x\ne 3$

 

$f\left( x \right)\ \ =\ \ \frac{9-{{x}^{2}}}{3-x}\ \ =\ \ \frac{\left( 3+x \right)\left( 3-x \right)}{\left( 3-x \right)}\ \ =\ \ 3+x$

 

Por lo que realmente se trata de una recta de pendiente 1 y ordenada en el origen 3.