447. La pendiente de la tangente a la gráfica de la función $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2x+1$ en el punto $x=-1$ vale:

a) -8

b) 6

c) -2

 

La recta tangente a la gráfica de $f\left( x \right)$ en $x=a$ es una recta $\left( y=mx+n \right)$ que no corta a $f\left( x \right)$ y tiene un único punto en común con ella, llamado punto de tangencia $\left( \left( a,f\left( a \right) \right) \right)$, en el que la gráfica de la función y la recta tangente “se tocan”. Además, se cumple que la pendiente de dicha recta tangente coincide con la derivada de la función en dicho punto $\left( m=f'\left( a \right) \right)$ porque, “cerca” de $x=a$, la función y la recta tangente tienen la misma variación.

 

En el ejercicio propuesto, $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2x+1$ y debemos calcular la pendiente de la recta tangente en $x=-1$, que coincidirá con $f'\left( -1 \right)$.

 

Calculemos por tanto la derivada de $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2x+1$:

${f}'\left( x \right)\ \ =\ \ 3\ \cdot 2\ \cdot {{x}^{2-1}}-2\ \cdot \ 1\ \cdot \ {{x}^{1-1}}+0\ \ =$

 

$=\ \ 6{{x}^{1}}-2{{x}^{0}}+0\ \ =\ \ 6x-2$

 

Y en el punto pedido $x=-1$ la pendiente de la recta tangente será:

 

$m\ \ =\ \ f'\left( -1 \right)\ \ =\ \ 6\times \left( -1 \right)-2\ \ =\ \ -6-2\ \ =\ \ -8$