441.  Si $\mathcal{U}\ =\ \left\{ a,b,c,d,e \right\}$, $A\ =\ \left\{ a,d,e \right\}$ y $B\ =\ \left\{ b,e \right\}$, se verifica que:

a) $A-B={{A}^{C}}\cap B$

b) ${{\left( A\cup B \right)}^{C}}={{A}^{C}}\cap {{B}^{C}}$

c) $B-A={{B}^{C}}\cup A$

 

Los conjuntos de partida son: $A\ =\ \left\{ a,d,e \right\}$ y $B\ =\ \left\{ b,e \right\}$.

 

Por lo que los elementos de $A\ \cup \ B$, los elementos que  pertenecen a $A\ =\ \left\{ a,d,e \right\}$ o  a $B\ =\ \left\{ b,e \right\}$, son:

 

$A\ \cup \ B\quad =\quad \left\{ a,b,d,e \right\}$

 

Y los elementos de ${{\left( A\cup B \right)}^{C}}$, los elementos que no pertenecen a $A\ \cup \ B=\left\{ a,b,d,e \right\}$, son:

 

${{\left( A\cup B \right)}^{C}}\quad =\quad \left\{ c \right\}$

 

Por otra parte, los elementos de ${{A}^{C}}$, los elementos que no pertenecen a $A\ =\ \left\{ a,d,e \right\}$, son:

 

${{A}^{C}}\quad =\quad \left\{ b,c \right\}$

 

Y los elementos de ${{B}^{C}}$, los elementos que no pertenecen a $B\ =\ \left\{ b,e \right\}$, son:

 

${{B}^{C}}\quad =\quad \left\{ a,c,d \right\}$

 

Por lo que los elementos de ${{A}^{C}}\cap {{B}^{C}}$, los elementos comunes a ${{A}^{C}}=\left\{ b,c \right\}$ y  a ${{B}^{C}}=\left\{ a,c,d \right\}$, son:

 

${{A}^{C}}\cap {{B}^{C}}\quad =\quad \left\{ c \right\}\quad =\quad {{\left( A\cup B \right)}^{C}}$

 

Lo cual era esperable porque es una de las Leyes de Morgan, que obviamente siempre se cumplen:

 

${{\left( A\cup B \right)}^{C}}\quad =\quad {{A}^{C}}\cap {{B}^{C}}$

 

Mientras que, comprobando las demás soluciones, tenemos que los elementos de $A-B$, los elementos de $A\ =\ \left\{ a,d,e \right\}$ que no pertenecen a $B\ =\ \left\{ b,e \right\}$, son:

 

$A\ -B\quad =\quad \left\{ a,d \right\}$

 

mientras que los elementos de ${{A}^{C}}\cap B$, los elementos comunes a ${{A}^{C}}=\left\{ b,c \right\}$ y a $B\ =\ \left\{ b,e \right\}$, son:

 

${{A}^{C}}\cap B\quad =\quad \left\{ b \right\}\quad \ne \quad A-B$

 

Al igual que tenemos que los elementos de $B-A$, los elementos de $B\ =\ \left\{ b,e \right\}$ que no pertenecen a $A\ =\ \left\{ a,d,e \right\}$, son:

 

$B-A\quad =\quad \left\{ b \right\}$

 

mientras que los elementos de ${{B}^{C}}\cup A$, los elementos que pertenecen a ${{B}^{C}}=\left\{ a,c,d \right\}$ o a $A\ =\ \left\{ a,d,e \right\}$, son:

 

${{B}^{C}}\cup A\quad =\quad \left\{ a,c,d,e \right\}\quad \ne \quad B-A$