436. Cuando $x\to 2$, la función $f\left( x \right)=\frac{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}{x-2}$ tiene límite:

a) 0

b) $\infty $

c) 1

 

La función $f\left( x \right)=\frac{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}{x-2}$ es una función racional, un cociente de polinomios, por lo que existe, es continua y derivable en todos los puntos, excepto en “los ceros del denominador”.

 

Determinemos entonces los puntos que anulan el denominador:

 

$x-2=0\quad \Rightarrow \quad x=2$

 

Debemos calcular el límite cuando $x\to 2$, en un “cero del denominador”, y si tratamos de calcularlo haciendo $x=2$ obtenemos $\frac{0}{0}$ que es una indeterminación. Necesitamos “resolver” dicha indeterminación para poder calcular el límite pedido.

 

Pero una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ que proviene de un cociente de polinomios nos está indicando que existe un factor común al numerador y al denominador, en concreto el factor $x-2$ (porque estamos calculando el límite en $x=2$). Identifiquemos por lo tanto dicho factor común para poder simplificarlo:

 

 $=\quad \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( x-1 \right)\quad =\quad 2-1\quad =\quad 1$