431. Si $\mathcal{U}\ =\ \left\{ 1,2,3,4,5 \right\}$, $A\ =\ \left\{ 1,4,5 \right\}$ y $B\ =\ \left\{ 2,5 \right\}$, se verifica que:

a) ${{\left( A\cap B \right)}^{C}}={{A}^{C}}\cup {{B}^{C}}$

b) ${{A}^{C}}\ \cap \ {{B}^{C}}=\ \varnothing $

c) ${{\left( A-B \right)}^{C}}={{\left( B-A \right)}^{C}}$

 

Los conjuntos de partida son: $A\ =\ \left\{ 1,4,5 \right\}$ y $B\ =\ \left\{ 2,5 \right\}$.

 

Por lo que los elementos de $A\ \cap \ B$, los elementos comunes a $A\ =\ \left\{ 1,4,5 \right\}$ y $B\ =\ \left\{ 2,5 \right\}$, son:

 

$A\ \cap \ B=\left\{ 5 \right\}$

 

Y los elementos de ${{\left( A\cap B \right)}^{C}}$, los elementos que no pertenecen a $A\ \cap \ B=\left\{ 5 \right\}$, son:

 

${{\left( A\cap B \right)}^{C}}\quad =\quad \left\{ 1,2,3,4 \right\}$

 

Por otra parte, los elementos de ${{A}^{C}}$, los elementos que no pertenecen a $A\ =\ \left\{ 1,4,5 \right\}$, son:

 

${{A}^{C}}\quad =\quad \left\{ 2,3 \right\}$

 

Y los elementos de ${{B}^{C}}$, los elementos que no pertenecen a $B\ =\ \left\{ 2,5 \right\}$, son:

 

${{B}^{C}}\quad =\quad \left\{ 1,3,4 \right\}$

 

Por lo que los elementos de ${{A}^{C}}\cup {{B}^{C}}$, los elementos que  pertenecen a ${{A}^{C}}=\left\{ 2,3 \right\}$ o  a ${{B}^{C}}=\left\{ 1,3,4 \right\}$, son:

 

${{A}^{C}}\cup {{B}^{C}}\quad =\quad \left\{ 1,2,3,4 \right\}\quad =\quad {{\left( A\cap B \right)}^{C}}$

 

Lo cual era esperable porque es una de las Leyes de Morgan, que obviamente siempre se cumplen:

 

${{\left( A\cap B \right)}^{C}}={{A}^{C}}\cup {{B}^{C}}$

 

Mientras que comprobando las demás soluciones tenemos que los elementos de ${{A}^{C}}\ \cap \ {{B}^{C}}$, los elementos comunes a ${{A}^{C}}=\left\{ 2,3 \right\}$ y  a ${{B}^{C}}=\left\{ 1,3,4 \right\}$, son:

 

${{A}^{C}}\ \cap \ {{B}^{C}}\quad =\ \quad \left\{ 3 \right\}\quad \ne \quad \varnothing $

 

Los elementos de $A-B$, los elementos de $A\ =\ \left\{ 1,4,5 \right\}$ que no pertenecen a $B\ =\ \left\{ 2,5 \right\}$, son:

 

$A-B\quad =\quad \left\{ 1,4 \right\}$

 

Y los elementos de ${{\left( A-B \right)}^{C}}$, los elementos que no pertenecen a $A-B=\left\{ 1,4 \right\}$, son:

 

${{\left( A-B \right)}^{C}}\quad =\quad \left\{ 2,3,5 \right\}$

 

 

Al mismo tiempo, los elementos de $B-A$, los elementos de $B\ =\ \left\{ 2,5 \right\}$ que no pertenecen a $A\ =\ \left\{ 1,4,5 \right\}$, son:

 

$B-A\quad =\quad \left\{ 2 \right\}$

 

Por lo que los elementos de ${{\left( B-A \right)}^{C}}$, los elementos que no pertenecen a $B-A=\left\{ 2 \right\}$, son:

 

${{\left( B-A \right)}^{C}}\quad =\quad \left\{ 1,3,4,5 \right\}\quad \ne \quad {{\left( A-B \right)}^{C}}$