410. De una urna que contiene 7 bolas blancas y 4 azules extraemos una bola y, sin devolverla a la urna, extraemos otra a continuación. Entonces, la probabilidad de que sean del mismo color es:

a) ${27}/{55}\;$

b) ${57}/{110}\;$

c) ${7}/{25}\;$

 

Sólo hay dos maneras de que las bolas extraídas sean del mismo color: o bien las dos bolas son blancas; o bien las dos bolas son azules; y no se pueden dar al mismo tiempo, por lo que podremos aplicar la fórmula de la Probabilidad Total.

 

Si denominamos:

 

${{b}_{1}}\equiv $ “la primera bola extraída es blanca”

${{b}_{2}}\equiv $ “la segunda bola extraída es blanca”

${{a}_{1}}\equiv $ “la primera bola extraída es azul”

${{a}_{2}}\equiv $ “la segunda bola extraída es azul”

 

aplicando la fórmula de la Probabilidad Total tendremos:

 

$P(\text{mismo color})=P({{b}_{1}}\cap {{b}_{2}})+P\left( {{a}_{1}}\cap {{a}_{2}} \right)=$

$=P\left( {{b}_{1}} \right)P\left( {{b}_{2}}/{{b}_{1}} \right)+P\left( {{a}_{1}} \right)P\left( {{a}_{2}}/{{a}_{1}} \right)$

 

Calcularemos cada una de dichas probabilidades aplicando fijándonos en la composición de la urna en cada momento y la fórmula de Laplace:

 

$P\left( A \right)=\frac{\text{n }\!\!{}^\text{o}\!\!\text{ }\ \text{casos}\ \text{favorables}}{\text{n }\!\!{}^\text{o}\!\!\text{ }\ \text{casos}\ \text{posibles}}$

 

En el momento inicial la urna tiene 11 bolas, de las que 7 bolas son blancas y 4 azules, por lo que:

 

$P\left( {{a}_{1}} \right)=\frac{4}{11}\quad \text{y}\quad P\left( {{b}_{1}} \right)=\frac{7}{11}$

 

Si la primera bola extraída es azul, quedan 10 bolas, de las que 7 bolas son blancas y 3 azules, por lo que:

 

$P\left( {{a}_{2}}/{{a}_{1}} \right)=\frac{3}{10}$

 

Si la primera bola extraída es blanca, quedan 10 bolas, de las que 6 bolas son blancas y 4 azules, por lo que:

 

$P\left( {{b}_{2}}/{{b}_{1}} \right)=\frac{6}{10}$

 

Luego la probabilidad pedida quedará:

 

$P(\text{mismo color})==P\left( {{b}_{1}} \right)P\left( {{b}_{2}}/{{b}_{1}} \right)+P\left( {{a}_{1}} \right)P\left( {{a}_{2}}/{{a}_{1}} \right)=$

 

$=\frac{7}{11}\cdot \frac{6}{10}\ +\ \frac{4}{11}\cdot \frac{3}{10}\quad =\quad \frac{7\cdot \not{2}\cdot 3}{11\cdot \not{2}\cdot 5}\ +\ \frac{\not{2}\cdot 2\cdot 3}{11\cdot \not{2}\cdot 5}\quad =$

 

$=\quad \frac{21}{55}\ +\ \frac{6}{55}\quad =\quad \frac{21+6}{55}\quad =\quad \frac{27}{55}$

 

También podríamos representar la resolución del ejercicio en un árbol de decisión donde en cada nivel representamos una fase del experimento aleatorio y sobre los arcos indicamos la probabilidad de que ocurra cada uno de los sucesos:

Elegimos los puntos finales que hacen que ocurra el suceso que nos interesa (recuadrados en rojo) y la probabilidad de llegar ahí es el producto de las probabilidades que aparecen en los arcos que hemos de recorrer y la probabilidad buscada es la suma de todos ellos. Así, según la gráfica:

 

$P(\text{mismo color})\quad =\quad \frac{7}{11}\cdot \frac{6}{10}\ +\ \frac{4}{11}\cdot \frac{3}{10}\quad =$

 

$=\quad \frac{7\cdot \not{2}\cdot 3}{11\cdot \not{2}\cdot 5}\ +\ \frac{\not{2}\cdot 2\cdot 3}{11\cdot \not{2}\cdot 5}\quad =\quad \frac{21}{55}\ +\ \frac{6}{55}\quad =\quad \frac{21+6}{55}\quad =\quad \frac{27}{55}$

 

Que lógicamente son las mismas operaciones y resultado que las obtenidas aplicando la fórmula de la probabilidad total.