411. La ecuación de una circunferencia de radio $\sqrt{20}$ y centro $\left( -1,2 \right)$ pasa por el punto

a) $\left( 1,-2 \right)$

b) $\left( 3,1 \right)$

c) $\left( -2,1 \right)$

 

Los puntos que pertenecen a una circunferencia de centro $C\left( a,b \right)$ y radio $r$ son todos aquellos puntos del plano que se encuentran a una distancia $r$ del centro $C\left( a,b \right)$, por lo tanto la ecuación de la circunferencia vendrá dada por:

 

${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}={{r}^{2}}$

 

En nuestro caso, la ecuación de de la circunferencia de radio $\sqrt{20}$ y centro $\left( -1,2 \right)$ es:

 

${{\left( x-\left( -1 \right) \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{20} \right)}^{2}}\quad \Rightarrow \quad$

 

$\quad \Rightarrow \quad {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=20$

Y dicha circunferencia pasará por los puntos que cumplan su ecuación, que se encuentren a una distancia $\sqrt{20}$ del centro $\left( -1,2 \right)$:

 

$\left( 1,-2 \right)\quad \to \quad {{\left( 1+1 \right)}^{2}}+{{\left( -2-2 \right)}^{2}}={{\left( 2 \right)}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}=$

$=4+16=20\quad \to \quad \text{S }\!\!\acute{\mathrm{I}}\!\!\text{ }$

$\left( 3,1 \right)\quad \to \quad {{\left( 3+1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-2 \right)}^{2}}={{\left( 4 \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}=$

$=16+1=17\quad \to \quad \text{NO}$

$\left( -2,1 \right)\quad \to \quad {{\left( -2+1 \right)}^{2}}+{{\left( 1-2 \right)}^{2}}={{\left( 1 \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}=$

$=1+1=2\quad \to \quad \text{NO}$