409. Dos personas salen a pasear por rutas diferentes. El primero de ellos pasa por los puntos, de los ejes de coordenadas, $\left( 1,2 \right)$ y $\left( 4,3 \right)$, mientras que el segundo lo hace por los puntos $\left( 4,1 \right)$ y $\left( 6,2 \right)$. Entonces, la persona que ha tenido menor pendiente durante su paseo ha sido

a) el primero

b) el segundo

c) ambos por igual

 

Si las trayectorias son rectas tendrán de ecuación $y=mx+n$ donde m es la pendiente de la recta (mide la inclinación) y n es la ordenada en el origen (indica el punto de corte de la recta con el eje vertical de ordenadas).

 

Calculemos primero la ecuación de la trayectoria del primer peatón, la recta que pasa por los puntos $\left( 1,2 \right)$ y $\left( 4,3 \right)$:

 

si la recta pasa por el punto $\left( 1,2 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta:

 

$2=m\times \left( 1 \right)+n\quad \Rightarrow \quad 2=m+n$

 

igualmente si pasa por el punto $\left( 4,3 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta:

 

$3=m\times (4)+n\quad \Rightarrow \quad 3=4m+n$.

 

Como pasa por ambos puntos, deben cumplirse ambas condiciones y obtenemos un sistema de ecuaciones cuya solución nos dará los valores de m y n:

 

y sustituyendo en alguna de las ecuaciones:

 

 

Por lo que la ecuación de la recta que pasa por los puntos $\left( 1,2 \right)$ y $\left( 4,3 \right)$ es:

 

$y=mx+n\quad \Rightarrow \quad y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$

 

De igual manera calcularemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos $\left( 4,1 \right)$ y $\left( 6,2 \right)$:

 

si la recta pasa por el punto $\left( 4,1 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta:

 

$1=m\times (4)+n\quad \Rightarrow \quad 1=4m+n$

 

igualmente si pasa por el punto $\left( 6,2 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta:

 

$2=m\times (6)+n\quad \Rightarrow \quad 2=6m+n$.

 

Como pasa por ambos puntos, deben cumplirse ambas condiciones y obtenemos un sistema de ecuaciones cuya solución nos dará los valores de m y n:

 

 y sustituyendo en alguna de las ecuaciones:

  

Por lo que la ecuación de la recta que pasa por los puntos $\left( 4,1 \right)$ y $\left( 6,2 \right)$ es:

 

$y=mx+n\quad \Rightarrow \quad y=\frac{1}{2}x-1$

 

Analizando las ecuaciones de las dos rectas, $y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$ y $y=\frac{1}{2}x-1$, se observa que la pendiente de la primera es $m=\frac{1}{3}$ y la pendiente de la segunda es ${m}'=\frac{1}{2}$, es decir, la primera pendiente es menor que la segunda.