403. La expresión $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-9}{x-2}$ define una función $f:I\to \mathbb{R}$ si

a) $I=\left( -\infty ,2 \right)$

b) $I=\left( -\infty ,2 \right]$

c) $I=\left[ 2,\infty  \right)$

 

Para que $f:I\to \mathbb{R}$ defina una función, debemos asegurarnos que $I$ esté incluido en el dominio de definición de $f\left( x \right)$, en el conjunto de números reales para los que “la función existe”, es decir, para los que $f\left( x \right)\in \mathbb{R}$ (se puede calcular $f\left( x \right)$ y el resultado es un número real).

 

Estudiemos por tanto el dominio de definición de $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-9}{x-2}$:

 

Se trata de una función racional, un cociente de polinomios, por lo que existe, es continua y derivable en todos los puntos, excepto en “los ceros del denominador”.

 

Determinemos entonces los puntos que anulan el denominador, los únicos que quedarían excluidos del dominio:

 

$x-2=0\quad \Rightarrow \quad x=2$

 

Y el dominio de definición de $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-9}{x-2}$ es $D=\mathbb{R}-\left\{ 2 \right\}=\left( -\infty ,2 \right)\cup \left( 2,\infty  \right)$.

 

Por lo tanto, $f:I\to \mathbb{R}$ define una función siempre que $I\subset D$; en este caso en concreto, siempre que $I$ excluya el número 2.

 

Estudiemos las respuestas posibles:

 

$I=\left( -\infty ,2 \right)=\left\{ x\in \mathbb{R}/x<2 \right\}\quad \Rightarrow \quad 2\notin I\quad \Rightarrow $ SÍ

 

$I=\left( -\infty ,2 \right]=\left\{ x\in \mathbb{R}/x\le 2 \right\}\quad \Rightarrow \quad 2\in I\quad \Rightarrow $ NO

 

$I=\left[ 2,\infty  \right)=\left\{ x\in \mathbb{R}/2\le x \right\}\quad \Rightarrow \quad 2\in I\quad \Rightarrow $ NO