396. Si $A$ y $B$ son dos conjuntos, el conjunto $\left( {{A}^{C}}\cup {{B}^{c}} \right)\cap B$ es igual a

a) ${{A}^{c}}\cup B$

b) ${{A}^{c}}\cap B$

c) $A$

 

Siendo $A$ y $B$ dos conjuntos cualesquiera, siempre se puede hacer una partición del conjunto universal en 4 subconjuntos disjuntos (sin elementos en común), 4 partes, definidas cada una de ellas en función de que sus elementos pertenezcan o no a $A$ y a $B$. Así tendremos: 

$\left( 1 \right)=A\cap B\quad \Rightarrow$ elementos comunes a $A$ y a $B$

$\left( 2 \right)=A\cap {{B}^{c}}\quad \Rightarrow$ elementos de $A$, pero fuera de $B$

$\left( 3 \right)={{A}^{c}}\cap B\quad \Rightarrow$ elementos de $B$, pero fuera de $A$

$\left( 4 \right)={{A}^{c}}\cap {{B}^{c}}\quad \Rightarrow$ elementos fuera de $A$ y de $B$

 

Empleando esta partición, podemos determinar que:

 

$A=\left( 1 \right)\cup \left( 2 \right)$

$B=\left( 1 \right)\cup \left( 3 \right)$

${{A}^{c}}=\left( 3 \right)\cup \left( 4 \right)$

${{B}^{c}}=\left( 2 \right)\cup \left( 4 \right)$

 

Por lo que:

 

${{A}^{C}}\cup {{B}^{C}}\quad =\quad \left( \left( 3 \right)\cup \left( 4 \right) \right)\quad \cup \quad \left( \left( 2 \right)\cup \left( 4 \right) \right)\quad =$

$=\quad \left( 2 \right)\cup \left( 3 \right)\cup \left( 4 \right)$

 

$\left( {{A}^{C}}\cup {{B}^{c}} \right)\cap B\quad =\quad \left( \left( 2 \right)\cup \left( 3 \right)\cup \left( 4 \right) \right)\quad \cap \quad \left( \left( 1 \right)\cup \left( 3 \right) \right)\quad =$

$=\quad \left( 3 \right)$

 

Que podemos comparar con las posibles respuestas:

 

${{A}^{C}}\cup B\quad =\quad \left( \left( 3 \right)\cup \left( 4 \right) \right)\quad \cup \quad \left( \left( 1 \right)\cup \left( 3 \right) \right)\quad =\quad \left( 1 \right)\cup \left( 3 \right)\cup \left( 4 \right)$

 

${{A}^{C}}\cap B\quad =\quad \left( \left( 3 \right)\cup \left( 4 \right) \right)\quad \cap \quad \left( \left( 1 \right)\cup \left( 3 \right) \right)\quad =\quad \left( 3 \right)$

 

$A=\left( 1 \right)\cup \left( 2 \right)$

 

También se podría haber llegado al resultado razonando que aplicando las leyes de Morgan:  lo que “está fuera” de , las zonas numeradas como , que “en común con”  solo tiene la zona , que solemos denominar $B-A$, y coincide también con ${{A}^{c}}\cap B$.