389. La expresión $f\left( x \right)=\sqrt{5x-1}$ define una función $f:I\to \mathbb{R}$ si

a) $I=\left( -1,\infty  \right)$

b) $I=\left( -\infty ,\infty  \right)$

c) $I=\left[ \frac{1}{5},\infty  \right)$

 

Para que $f:I\to \mathbb{R}$ defina una función, debemos asegurarnos que $I$ esté incluido en el dominio de definición de $f\left( x \right)$, en el conjunto de números reales para los que “la función existe”, es decir, para los que $f\left( x \right)\in \mathbb{R}$ (se puede calcular $f\left( x \right)$ y el resultado es un número real).

 

Estudiemos por tanto el dominio de definición de $f\left( x \right)=\sqrt{5x-1}$:

 

Se trata de una función ”con raíces de índice par”, con una raíz cuadrada, por lo que existe, es continua y derivable en todos los puntos “que hagan el radicando $\ge 0$”.

 

Determinemos entonces los puntos que hacen el radicando $\ge 0$:

 

$5x-1\ge 0\quad \Rightarrow \quad 5x\ge 1\quad \Rightarrow \quad x\ge \frac{1}{5}$

 

Por lo tanto, $f:I\to \mathbb{R}$ define una función siempre que $I\subset D$; en este caso en concreto, siempre que $I$ incluya solo números reales $x\ge \frac{1}{5}$.

 

Estudiemos las respuestas posibles:

 

$I=\left( -1,\infty  \right)=\left\{ x\in \mathbb{R}/x>-1 \right\}\quad \Rightarrow $ NO porque incluye números como 0, que son menores que $\frac{1}{5}$

 

$I=\left( -\infty ,\infty  \right)=\mathbb{R}\quad \Rightarrow $ NO porque incluye números como 0, que son menores que $\frac{1}{5}$

 

$I=\left[ \frac{1}{5},\infty  \right)=\left\{ x\in \mathbb{R}/x\ge \frac{1}{5} \right\}\quad \Rightarrow$ SÍ