382. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

a) ${{\left( A\cup B \right)}^{C}}={{A}^{C}}\cap {{B}^{C}}$

b) ${{\left( A\cap B \right)}^{C}}={{A}^{C}}\cap {{B}^{C}}$

c) ${{A}^{C}}\cup {{B}^{C}}={{\left( A\cup B \right)}^{C}}$

 

Siendo $A$ y $B$ dos conjuntos cualesquiera, siempre se cumplen las Leyes de Morgan:

 

${{\left( A\cup B \right)}^{C}}={{A}^{C}}\cap {{B}^{C}}$

 

${{\left( A\cap B \right)}^{C}}={{A}^{C}}\cup {{B}^{C}}$

 

Por lo que solo es cierta la primera de las afirmaciones propuestas: ${{\left( A\cup B \right)}^{C}}={{A}^{C}}\cap {{B}^{C}}$

 

Y podemos confirmarlo representándolo mediante diagramas de Venn:

 

-     Si rayamos en azul $\left( A\cup B \right)$, su complementario ${{\left( A\cup B \right)}^{C}}$ será “lo que resta, lo que está fuera”, lo que figura rayado en rojo:

 

-     Si rayamos en rojo ${{A}^{C}}$ y en azul ${{B}^{C}}$, la intersección de ambos, ${{A}^{C}}\cap {{B}^{C}}$, “lo común a ambos”, será lo que figure cuadriculado en ambos colores (porque se haya rayado ambas veces):

 

-     Observando que realmente ${{\left( A\cup B \right)}^{C}}={{A}^{C}}\cap {{B}^{C}}$