379. La probabilidad de que un hombre viva 75 años es ${1}/{4}\;$ y la de que su mujer viva 75 años es ${1}/{2}\;$. Entonces, la probabilidad de que el hombre no viva 75 años y su mujer sí, es

a) ${1}/{8}\;$

b) ${3}/{8}\;$

c) ${3}/{4}\;$

 

Si denominamos $M\equiv $ “la mujer vive 75 años”, según el enunciado $P(M)=\frac{1}{2}$.

 

Igualmente, si denominamos $H\equiv $”el hombre vive 75 años”, según el enunciado $P(H)=\frac{1}{4}$. Por lo que si nos fijamos en su complementario, ${{H}^{C}}\equiv $”el hombre no vive 75 años”, tendremos:

 

\[P\left( {{H}^{C}} \right)\quad =\quad 1\ -\ P\left( H \right)\quad =\quad 1\ -\ \frac{1}{4}\quad =\]

 

 \[=\quad \frac{4}{4}-\frac{1}{4}\quad =\quad \frac{3}{4}\]

 

Los años que viva la mujer y el hombre son sucesos independientes pues, lógicamente, el resultado de uno de los sucesos no se ve afectado de ningún modo, ni depende, del resultado del otro.

 

Siempre se cumple:

 

$P\left( A\cap B \right)=P\left( A \right)P\left( B/A \right)$

 

pero cuando los sucesos son independientes, como en nuestro caso, se cumple:

 

$P\left( A\cap B \right)=P\left( A \right)P\left( B \right)$

 

Luego en el ejercicio propuesto tenemos:

 

$P\left( {{H}^{C}}\cap M \right)\quad =\quad P\left( {{H}^{C}} \right)P\left( M \right)\quad =\quad \frac{3}{4}\times \frac{1}{2}\quad =\quad \frac{3}{8}$