363. La pendiente de la tangente a la gráfica de la función $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3x$ en el punto de abcisa $x=-2$ vale

a) -15

b) -6

c) -3

 

La recta tangente a la gráfica de $f\left( x \right)$ en $x=a$ es una recta $\left( y=mx+n \right)$ que no corta a $f\left( x \right)$ y tiene un único punto en común con ella llamado punto de tangencia $\left( \left( a,f\left( a \right) \right) \right)$ en el que la gráfica de la función y la recta tangente “se tocan”. Además, se cumple que la pendiente de dicha recta tangente coincide con la derivada de la función en dicho punto $\left( m=f'\left( a \right) \right)$ porque “cerca” de $x=a$ la función y la recta tangente tienen la misma variación.

 

En el ejercicio propuesto, $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3x$ y debemos calcular la pendiente de la recta tangente en $x=-2$, que coincidirá con $f'\left( -2 \right)$.

 

Calculemos por tanto la derivada de $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3x$:

${f}'\left( x \right)\ \ =\ \ 3\ \cdot 2\ \cdot {{x}^{2-1}}-3\ \cdot \ 1\ \cdot \ {{x}^{1-1}}\ \ =$

 

$=\ \ 6{{x}^{1}}-3{{x}^{0}}\ \ =\ \ 6x-3$

 

Y en el punto pedido $x=-2$ la pendiente de la recta tangente será:

 

$m\ \ =\ \ f'\left( -2 \right)\ \ =\ \ 6\times \left( -2 \right)-3\ \ =-12-3\ \ =\ \ -15$