355. Sean los conjuntos $A=\left\{ a,b,c,d \right\}$, $B=\left\{ 1,2,3,4 \right\}$, y $f:A\to B$ la transformación definida por $f(a)=4$, $f(b)=3$, $f(c)=2$, $f(d)=1$. Entonces

a) $f$ es aplicación y ${{f}^{-1}}(\left\{ 1,3 \right\})=\left\{ a,b \right\}$

b) $f$ es aplicación ${{f}^{-1}}(\left\{ 2,4 \right\})=\left\{ a,c \right\}$

c) $f$ no es aplicación

 

La representación gráfica de la transformación definida quedaría:

Para que sea aplicación, todos los elementos del conjunto inicial deben tener “una y solo una” imagen en el conjunto final (es decir, de todos y cada uno de los elementos del conjunto inicial debe salir una y solo una flecha en la representación gráfica). Y la transformación definida SÍ es una aplicación.

 

Por otra parte, ${{f}^{-1}}(\left\{ 1,3 \right\})$, la imagen inversa de $\left\{ 1,3 \right\}\subset B$, es un subconjunto del conjunto inicial cuyos elementos son todos aquellos elementos de $A$ cuyas imágenes por la aplicación $f$ pertenecen al conjunto $\left\{ 1,3 \right\}$. En la representación gráfica, todos aquellos elementos de $A$ de los que salgan flechas que vayan a parar a cualquier elemento del conjunto $\left\{ 1,3 \right\}$. Luego, ${{f}^{-1}}(\left\{ 1,3 \right\})=\left\{ b,d \right\}\subset A$.

 

Por último, ${{f}^{-1}}(\left\{ 2,4 \right\})$, la imagen inversa de $\left\{ 2,4 \right\}\subset B$, es un subconjunto del conjunto inicial cuyos elementos son todos aquellos elementos de $A$ cuyas imágenes por la aplicación $f$ pertenecen al conjunto $\left\{ 2,4 \right\}$. En la representación gráfica, todos aquellos elementos de $A$ de los que salgan flechas que vayan a parar a cualquier elemento del conjunto $\left\{ 2,4 \right\}$. Luego, ${{f}^{-1}}(\left\{ 2,4 \right\})=\left\{ a,c \right\}\subset A$.