315. La función definida por $f\left( 1 \right)=1$ y $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}$, cuando $x\ne 1$,

a) tiene una única discontinuidad

b) no tiene discontinuidades

c) tiene dos discontinuidades

La función con la que estamos trabajando es:

La rama de la función $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}$ es una función racional, un cociente de polinomios, por lo que existe, es continua y derivable en todos los puntos, excepto en “los ceros del denominador”, es decir en:

$x-1=0\quad \Rightarrow \quad x=1$

Pero en $x=1$ no se aplica esa rama de la función, sino $f\left( 1 \right)=1$, luego la función existe para todos los valores de $x$, su dominio es $D=\mathbb{R}$.

Para estudiar la continuidad de la función, recordemos que, por definición, para que una función $f\left( x \right)$ sea continua en $x=a$ deben cumplirse tres condiciones: que exista $f\left( a \right)$, que exista $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$, y que ambos coincidan, es decir, $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( a \right)$.

Ya hemos dicho que la rama de la función $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}$ existe, es continua y derivable en todos los puntos; por lo que solo nos queda analizar la continuidad en $x=1$.

Ya sabemos que $f\left( 1 \right)=1$; luego en $x=1$ la función existe (primera condición).

Estudiemos el límite $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{x-1}$.

Debemos calcular el límite cuando $x\to 1$, en un “cero del denominador”, y si tratamos de calcularlo haciendo $x=1$ obtenemos $\frac{0}{0}$ que es una indeterminación. Necesitamos “resolver” dicha indeterminación para poder calcular el límite pedido.

Pero una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ que proviene de un cociente de polinomios nos está indicando que existe un factor común al numerador y al denominador, en concreto el factor $x-1$ (porque estamos calculando el límite en $x=1$). Identifiquemos por lo tanto dicho factor común para poder simplificarlo:

$=\quad \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( x+1 \right)\quad =\quad 1+1\quad =\quad 2$

Luego existe $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)$ (segunda condición).

Pero $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=2\ne 1=f\left( 1 \right)$, es decir, el valor del límite y el valor de la función no coinciden (tercera condición).

Por lo que la función no es continua en $x=1$, que es su única discontinuidad.