278. La moneda ${{M}_{1}}$ está cargada de manera que al lanzarla sale cara con probabilidad 0,2 y la moneda ${{M}_{2}}$ está cargada de manera que al lanzarla sale cara con probabilidad 0,8. Escogemos al azar una de las monedas y la lanzamos dos veces. La probabilidad de que salgan dos caras es

a) 0,32

b) 0,34

c) 0,16

Llamemos ${{M}_{i}}$ el suceso “escoger la moneda i”, ${{C}_{i}}$ al suceso “sacar cara en el lanzamiento i” y $2C$ al suceso “sacar dos caras en dos lanzamientos”.

Solo podemos conseguir dos caras en dos lanzamientos si escogemos   la   moneda   ${{M}_{1}}$   y   sale   cara   las   dos   veces   (${{M}_{1}}\cap {{C}_{1}}\cap {{C}_{2}}$) o bien escogemos la moneda ${{M}_{2}}$ y sale cara las dos veces (${{M}_{2}}\cap {{C}_{1}}\cap {{C}_{2}}$), siendo ambos casos excluyentes (disjuntos, no se pueden dar a la vez) por lo que según la definición de probabilidad:

$P\left( 2C \right)\ \ =\ \ P\left( \left( {{M}_{1}}\cap {{C}_{1}}\cap {{C}_{2}} \right)\cup \left( {{M}_{2}}\cap {{C}_{1}}\cap {{C}_{2}} \right) \right)\ \ =$

$=\ \ P\left( {{M}_{1}}\cap {{C}_{1}}\cap {{C}_{2}} \right)+P\left( {{M}_{2}}\cap {{C}_{1}}\cap {{C}_{2}} \right)$

Para calcular cada uno de los dos sumandos recordemos que:

$P\left( A\cap B \right)=P\left( A \right)P\left( B/A \right)$

Luego en nuestro caso:

$P\left( {{M}_{i}}\cap {{C}_{1}}\cap {{C}_{2}} \right)\ \ =\ \ P\left( {{M}_{i}} \right)P\left( {{C}_{1}}\cap {{C}_{2}}/{{M}_{i}} \right)$

Donde $P\left( {{M}_{i}} \right)$ se conoce porque la moneda a usar se escoge al azar, es decir, $P\left( {{M}_{1}} \right)\ \ =\ \ P\left( {{M}_{2}} \right)\ \ =\ \ \frac{1}{2}$.

Y para calcular las probabilidades condicionadas $P\left( {{C}_{1}}\cap {{C}_{2}}/{{M}_{i}} \right)$ hay que tener en cuenta que, escogida la moneda, queda determinada la probabilidad de obtener cara y que, aunque siempre se cumple $P\left( A\cap B \right)=P\left( A \right)P\left( B/A \right)$, cuando los sucesos son independientes, como en nuestro caso porque los dos lanzamientos no guardan relación alguna entre ellos, esa relación queda $P\left( A\cap B \right)=P\left( A \right)P\left( B \right)$.

Por lo tanto en nuestro ejercicio:

$P\left( {{C}_{1}}\cap {{C}_{2}}/{{M}_{i}} \right)\ \ =\ \ P\left( {{C}_{1}}/{{M}_{i}} \right)P\left( {{C}_{2}}/{{M}_{i}} \right)$

Con todo ello la probabilidad que estamos calculando se obtendría haciendo (probabilidad total):

$P\left( 2C \right)\ \ =\ \ P\left( {{M}_{1}}\cap {{C}_{1}}\cap {{C}_{2}} \right)+P\left( {{M}_{2}}\cap {{C}_{1}}\cap {{C}_{2}} \right)\ \ =$

$=\ \ P\left( {{M}_{1}} \right)P\left( {{C}_{1}}\cap {{C}_{2}}/{{M}_{1}} \right)+P\left( {{M}_{2}} \right)P\left( {{C}_{1}}\cap {{C}_{2}}/{{M}_{2}} \right)\ \ =$

$=\ \ P\left( {{M}_{1}} \right)P\left( {{C}_{1}}/{{M}_{1}} \right)P\left( {{C}_{2}}/{{M}_{1}} \right)+P\left( {{M}_{2}} \right)P\left( {{C}_{1}}/{{M}_{2}} \right)P\left( {{C}_{2}}/{{M}_{2}} \right)\ \ =$

$=\ \ \frac{1}{2}\times \frac{2}{10}\times \frac{2}{10}+\frac{1}{2}\times \frac{8}{10}\times \frac{8}{10}\ \ =\ \ \frac{4}{200}+\frac{64}{200}\ \ =$

$=\ \ \frac{4+64}{200}\ \ =\ \ \frac{68}{200}\ \ =\ \ 0,34$

También podríamos representar la resolución del ejercicio en un árbol de decisión donde en cada nivel representamos una fase del experimento aleatorio y sobre los arcos indicamos la probabilidad de que ocurra cada uno de los sucesos:

Elegimos los puntos finales que hacen que ocurra el suceso que nos interesa (recuadrados en rojo) y la probabilidad de llegar ahí es el producto de las probabilidades que aparecen en los arcos que hemos de recorrer y la probabilidad buscada es la suma de todos ellos. Así, según la gráfica:

$P\left( 2C \right)\ \ =\ \ \frac{1}{2}\times \frac{2}{10}\times \frac{2}{10}\ \ +\ \ \frac{1}{2}\times \frac{8}{10}\times \frac{8}{10}\ \ =\ \ 0,34$

Que lógicamente son las mismas operaciones y resultado que las obtenidas aplicando la fórmula de la probabilidad total.