264. Un ciclista sigue la trayectoria de la recta $2x-3y=5$, mientras que otro pasa por los puntos de coordenadas $A\ \left( 1,5 \right)$ y $B\ \left( -1,1 \right)$. La ordenada del punto de encuentro de ambos ciclistas es

a) ${-7}/{2}\;$

b) 2

c) -4

La trayectoria del primer ciclista la conocemos: $2x-3y=5$

Si la trayectoria del segundo ciclista es una recta tendrá de ecuación $y=mx+n$ donde m es la pendiente de la recta (mide la inclinación) y n es la ordenada en el origen (indica el punto de corte de la recta con el eje vertical de ordenadas).

Calculemos entonces la ecuación de la trayectoria del segundo ciclista, la recta que pasa por los puntos $A\ \left( 1,5 \right)$ y $B\ \left( -1,1 \right)$:

si la recta pasa por el punto $\left( 1,5 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta: $5=m\times (1)+n\quad \Rightarrow \quad 5=m+n$

igualmente si pasa por el punto $\left( -1,1 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta: $1=m\times (-1)+n\quad \Rightarrow \quad 1=-m+n$.

Como pasa por ambos puntos, deben cumplirse ambas condiciones y obtenemos un sistema de ecuaciones cuya solución nos dará los valores de m y n:

y sustituyendo en alguna de las ecuaciones:

Por lo que la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A\ \left( 1,5 \right)$ y $B\ \left( -1,1 \right)$ es:

$y=mx+n\quad \Rightarrow \quad y=2x+3$

que también se puede expresar como:

$y=2x+3\quad \Rightarrow \quad -2x+y=3$

Luego las trayectorias de los dos ciclistas son respectivamente: $2x-3y=5$ y $-2x+y=3$; y el punto de encuentro debe pertenecer a ambas rectas, es decir, cumplir ambas ecuaciones, por lo que será la solución del sistema de ecuaciones que podemos formar con ambas:

Y la ordenada del punto de encuentro de ambos ciclistas es -4.