257. Dados los conjuntos $A=\left\{ a,b,c,d \right\}$, $B=\left\{ x,y,z \right\}$, si $f:A\to B$ es la transformación $f(a)=z$, $f(b)=x$, $f(c)=y$, $f(d)=x$, entonces

a) $f$ no es aplicación

b) la imagen de $\left\{ a.b \right\}=\left\{ x,y,z \right\}$

c) ${{f}^{-1}}\left\{ x,y \right\}=\left\{ b,c,d \right\}$

La representación gráfica de la transformación definida quedaría:

Para que sea aplicación, todos los elementos del conjunto inicial deben tener “una y solo una” imagen en el conjunto final (es decir, de todos y cada uno de los elementos del conjunto inicial debe salir una y solo una flecha en la representación gráfica). Y la transformación definida es una aplicación pues: $f(a)=z$, $f(b)=x$, $f(c)=y$ y $f(d)=x$.

Por otra parte, $\left\{ a,b \right\}$ es un subconjunto del conjunto inicial $A$ $\left( \left\{ a,b \right\}\subset A \right)$, por lo que podemos calcular su imagen $f(\left\{ a,b \right\})$. Y, por definición, la imagen de un subconjunto del conjunto inicial, es un subconjunto del conjunto final, es decir, $f(\left\{ a,b \right\})\subset B$, por lo que $\left\{ x,y,z \right\}\subset B$ sí podría ser la imagen inversa buscada.

Pero $f(\left\{ a,b \right\})$ es un subconjunto del conjunto final cuyos elementos son todos aquellos elementos de $B$ que son imagen por la aplicación $f$ de algún elemento del conjunto $\left\{ a,b \right\}$; en la representación gráfica: todos aquellos elementos de $B$ que reciban flechas provenientes de cualquier elemento del conjunto $\left\{ a,b \right\}$. Luego, $f(\left\{ a,b \right\})$ es un subconjunto del conjunto final que contiene únicamente los elementos $x,z\in B$. Es decir, $f(\left\{ a,b \right\})=\left\{ x,z \right\}\subset B$.

Finalmente, $\left\{ x,y \right\}$ es un subconjunto del conjunto final $B$ $\left( \left\{ x,y \right\}\subset B \right)$, por lo que podemos calcular su imagen inversa ${{f}^{-1}}(\left\{ x,y \right\})$. Y, por definición, la imagen inversa de un subconjunto del conjunto final, es un subconjunto del conjunto inicial, es decir, ${{f}^{-1}}(\left\{ x,y \right\})\subset A$, por lo que $\left\{ b,c,d \right\}\subset A$ sí podría ser la imagen inversa buscada (es un subconjunto de $A$).

De hecho, ${{f}^{-1}}(\left\{ x,y \right\})$ es un subconjunto del conjunto inicial cuyos elementos son todos aquellos elementos de $A$ cuyas imágenes por la aplicación $f$ pertenecen al conjunto $\left\{ x,y \right\}$; en la representación gráfica: todos aquellos elementos de $A$ de los que salgan flechas que vayan a parar a cualquier elemento del conjunto $\left\{ x,y \right\}$. Luego ${{f}^{-1}}(\left\{ x,y \right\})$ es un subconjunto del conjunto inicial que contiene los elementos $b,c,d\in A$. Es decir, ${{f}^{-1}}(\left\{ x,y \right\})=\left\{ b,c,d \right\}\subset A$