256. La expresión $\left( A\cap B \right)\cup \left( A\cap {{B}^{c}} \right)$ es igual a

a) ${{A}^{c}}\cup B$

b) ${{A}^{c}}\cap B$

c) $A$

Siendo $A$ y $B$ dos conjuntos cualesquiera, siempre se puede hacer una partición del conjunto universal en 4 subconjuntos disjuntos (sin elementos en común), 4 partes, definidas cada una de ellas en función de que sus elementos pertenezcan o no a $A$ y a $B$. Así tendremos:

$\left( 1 \right)=A\cap B\quad \Rightarrow $ elementos comunes a $A$ y a $B$

$\left( 2 \right)=A\cap {{B}^{c}}\quad \Rightarrow $ elementos de $A$, pero fuera de $B$

$\left( 3 \right)={{A}^{c}}\cap B\quad \Rightarrow $ elementos de $B$, pero fuera de $A$

$\left( 4 \right)={{A}^{c}}\cap {{B}^{c}}\quad \Rightarrow $ elementos fuera de $A$ y de $B$

Empleando esta partición, podemos determinar que:

$A=\left( 1 \right)\cup \left( 2 \right)$

$B=\left( 1 \right)\cup \left( 3 \right)$

${{B}^{c}}=\left( 2 \right)\cup \left( 4 \right)$

Por lo que:

$A\cap B=\left( 1 \right)$

$A\cap {{B}^{c}}=\left( 2 \right)$

Y así, el conjunto que nos interesa cumple:

$\left( A\cap B \right)\cup \left( A\cap {{B}^{c}} \right)=\left( 1 \right)\cup \left( 2 \right)=A$

Lo cual es lógico porque se puede entender el conjunto propuesto como: “lo que $A$ tiene en $B$” $\cup $ “lo que $A$ tiene fuera de $B$” y al unirlos obtenemos todo $A$.