248. En un sistema de referencia cartesiano con origen de coordenadas $\left( 0,0 \right)$, un peatón sigue la trayectoria de la recta que pasa por los puntos $A\ \left( -1,3 \right)$ y $B\ \left( 2,2 \right)$ mientras que otro peatón sigue la trayectoria de la recta que pasa por los puntos $C\ \left( 1,0 \right)$ y $D\ \left( 4,-1 \right)$. Entonces, la abcisa del punto donde se cortan las trayectorias de ambos peatones

a) no está definida porque la trayectoria de ambos peatones no se corta en ningún punto

b) vale 1

c) vale -3

Si las trayectorias son rectas tendrán de ecuación $y=mx+n$ donde m es la pendiente de la recta (mide la inclinación) y n es la ordenada en el origen (indica el punto de corte de la recta con el eje vertical de ordenadas).

Calculemos primero la ecuación de la trayectoria del primer peatón, la recta que pasa por los puntos $A\ \left( -1,3 \right)$ y $B\ \left( 2,2 \right)$:

si la recta pasa por el punto $\left( -1,3 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta: $3=m\times (-1)+n\quad \Rightarrow \quad 3=-m+n$

igualmente si pasa por el punto $\left( 2,2 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta: $2=m\times (2)+n\quad \Rightarrow \quad 2=2m+n$.

Como pasa por ambos puntos, deben cumplirse ambas condiciones y obtenemos un sistema de ecuaciones cuya solución nos dará los valores de m y n:

y sustituyendo en alguna de las ecuaciones:

Por lo que la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A\ \left( -1,3 \right)$ y $B\ \left( 2,2 \right)$ es:

$y=mx+n\quad \Rightarrow \quad y=\frac{-1}{3}x+\frac{8}{3}$

De igual manera calcularemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos $C\ \left( 1,0 \right)$ y $D\ \left( 4,-1 \right)$:

si la recta pasa por el punto $\left( 1,0 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta: $0=m\times (1)+n\quad \Rightarrow \quad 0=m+n$

igualmente si pasa por el punto $\left( 4,-1 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta: $-1=m\times (4)+n\quad \Rightarrow \quad -1=4m+n$.

Como pasa por ambos puntos, deben cumplirse ambas condiciones y obtenemos un sistema de ecuaciones cuya solución nos dará los valores de m y n:

y sustituyendo en alguna de las ecuaciones:

Por lo que la ecuación de la recta que pasa por los puntos $C\ \left( 1,0 \right)$ y $D\ \left( 4,-1 \right)$ es:

$y=mx+n\quad \Rightarrow \quad y=\frac{-1}{3}x+\frac{1}{3}$

Analizando las ecuaciones de las dos rectas, $y=\frac{-1}{3}x+\frac{8}{3}$ y $y=\frac{-1}{3}x+\frac{1}{3}$, se observa que la pendiente de la primera es $m=\frac{-1}{3}$ y la pendiente de la segunda es $m'=\frac{-1}{3}$, es decir, las pendientes son iguales, por lo que las dos rectas son paralelas. Además la ordenada en el origen de la primera es $n=\frac{8}{3}$ y la ordenada en el origen de la segunda es $n'=\frac{1}{3}$, es decir, las ordenadas en el origen son distintas, por lo que las dos rectas son paralelas pero distintas. Por lo tanto las dos rectas no tienen ningún punto en común, no se cortan en ningún punto, y la trayectoria de ambos peatones tampoco.