222. Un arquero, tumbado en el suelo, dispara una flecha con una velocidad vertical de $40\ {km}/{h}\;$. Teniendo en cuenta que al cabo de $t\ seg$ de vuelo, la flecha lleva una velocidad $v\ =\ {{v}_{0}}\ -\ 9,81\cdot t$, y que la altura sobre el suelo de un cuerpo en caída libre es:

$y\ =\ {{y}_{0}}\ +\ {{v}_{0}}\cdot t\ -\ 9,81\cdot {}^{{{t}^{2}}}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;$

entonces, la altura máxima alcanzada por la flecha es de:

a) $6,291\ metros$

b) $7,043\ metros$

c) $8,527\ metros$

El momento inicial es el momento del disparo  y unificando todas las unidades de medida a $m$ y $seg$, tendremos:

altura inicial: ${{y}_{0}}\ =\ 0\ m$ porque está tumbado en el suelo

velocidad inicial:

Por lo que la expresión que indica la altura a los $t\ seg$ del disparo quedará:

Y se trata de una función polinómica por lo que está definida, es continua y derivable en todos los puntos, así que podemos calcular cuando alcanza su máximo (la altura máxima) buscando aquellos valores de $t$ que anulan la primera derivada y hacen negativa la segunda derivada.

La derivada de dicha función viene dada por:

Y se anula en:

Y la segunda derivada viene dada por:

$y''\quad =\quad -\ 9,81\quad <\quad 0\quad \forall \ t\in \mathbb{R}$

Por lo que en $t\ \cong \ 1,133\ seg$ la flecha alcanza su altura máxima.

Y la altura de la flecha sobre el suelo en ese instante será de:

\[\cong \quad 12,589\ -\ 4,905\ \cdot \ 1,284\quad \cong \]

$\cong \quad 12,589\ -\ 6,298\quad =\quad 6,291\ metros$