219. En un sistema de referencia cartesiano con origen de coordenadas $\left( 0,0 \right)$, un peatón sigue la trayectoria de la recta que pasa por los puntos $A\ \left( 2,0 \right)$ y $B\ \left( 5,2 \right)$ mientras que otro peatón sigue la trayectoria de la recta que pasa por los puntos $C\ \left( 1,3 \right)$ y $D\ \left( -3,-1 \right)$. Entonces, la ordenada del punto donde se cortan las trayectorias de ambos peatones es

a) la trayectoria de ambos peatones no se corta en ningún punto

b) -8

c) 15

Si las trayectorias son rectas tendrán de ecuación $y=mx+n$ donde m es la pendiente de la recta (mide la inclinación) y n es la ordenada en el origen (indica el punto de corte de la recta con el eje vertical de ordenadas).

Calculemos primero la ecuación de la trayectoria del primer peatón, la recta que pasa por los puntos $A\ \left( 2,0 \right)$ y $B\ \left( 5,2 \right)$:

si la recta pasa por el punto $\left( 2,0 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta: $0=m\times (2)+n\quad \Rightarrow \quad 0=2m+n$

igualmente si pasa por el punto $\left( 5,2 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta: $2=m\times (5)+n\quad \Rightarrow \quad 2=5m+n$.

Como pasa por ambos puntos, deben cumplirse ambas condiciones y obtenemos un sistema de ecuaciones cuya solución nos dará los valores de m y n:

y sustituyendo en alguna de las ecuaciones:

$0=2m+n\quad \Rightarrow \quad 0=2\times \frac{2}{3}+n\quad \Rightarrow \quad 0=\frac{4}{3}+n\quad \Rightarrow $

Por lo que la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A\ \left( 2,0 \right)$ y $B\ \left( 5,2 \right)$ es:

$y=mx+n\quad \Rightarrow \quad y=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}$

De igual manera calcularemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos $C\ \left( 1,3 \right)$ y $D\ \left( -3,-1 \right)$:

si la recta pasa por el punto $\left( 1,3 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta: $3=m\times (1)+n\quad \Rightarrow \quad 3=m+n$

igualmente si pasa por el punto $\left( -3,-1 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta: $-1=m\times (-3)+n\quad \Rightarrow \quad -1=-3m+n$.

Como pasa por ambos puntos, deben cumplirse ambas condiciones y obtenemos un sistema de ecuaciones cuya solución nos dará los valores de m y n:

y sustituyendo en alguna de las ecuaciones:

Por lo que la ecuación de la recta que pasa por los puntos $C\ \left( 1,3 \right)$ y $D\ \left( -3,-1 \right)$ es:

$y=mx+n\quad \Rightarrow \quad y=1x+2\quad \Rightarrow \quad y=x+2$

Analizando las ecuaciones de las dos rectas, $y=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}$ y $y=x+2$, se observa que la pendiente de la primera es $m=\frac{2}{3}$ y la pendiente de la segunda es $m'=1$, es decir, las pendientes son distintas, por lo que las dos rectas no son paralelas y se cortarán en algún punto: el punto de corte de las dos trayectorias que estábamos buscando.

Para calcular las coordenadas $\left( x,y \right)$ de dicho punto de corte hay que recordar que será un punto que pertenezca a ambas rectas, es decir, que cumpla ambas ecuaciones, es decir, que sea solución del sistema formado por ambas ecuaciones:

$\Rightarrow \quad \frac{2x}{3}-\frac{3x}{3}=\frac{6}{3}+\frac{4}{3}\quad \Rightarrow \quad \frac{-x}{3}=\frac{10}{3}\quad \Rightarrow $

Y la ordenada de dicho punto será, sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones: