197. Un matrimonio sale de casa con $x$ €, llenan el depósito de combustible gastando $\left( {}^{x}\!\!\diagup\!\!{}_{16}\; \right)$ €, van al cine y gastan $\left( {}^{x}\!\!\diagup\!\!{}_{24}\; \right)$ €, cenan por $\left( {}^{x}\!\!\diagup\!\!{}_{8}\; \right)$ € y compran un regalo que les cuesta $\left( {}^{x}\!\!\diagup\!\!{}_{12}\; \right)$ €. Entre paréntesis figura la proporción de dinero gastado, sobrándole 330 €. Entonces, salieron de casa con:

a) 480 €

b) 600 €

c) 540 €

Al inicio tienen $x$ €.

En total se gastan:

$\frac{x}{16}+\frac{x}{24}+\frac{x}{8}+\frac{x}{12}\quad =\quad \frac{x}{{{2}^{4}}}+\frac{x}{{{2}^{3}}\times 3}+\frac{x}{{{2}^{3}}}+\frac{x}{{{2}^{2}}\times 3}\quad =$

$=\quad \frac{3x}{{{2}^{4}}\times 3}+\frac{2x}{{{2}^{3}}\times 3\times 2}+\frac{6x}{{{2}^{3}}\times 2\times 3}+\frac{4x}{{{2}^{2}}\times 3\times {{2}^{2}}}\quad =$

$=\quad \frac{3x+2x+6x+4x}{{{2}^{4}}\times 3}\quad =\quad \frac{15x}{{{2}^{4}}\times 3}\quad =\quad \frac{15x}{48}$

Por los que los 330 € que les quedan representan en proporción:

$x-\frac{15x}{48}\quad =\quad \frac{48x}{48}-\frac{15x}{48}\quad =\quad \frac{48x-15x}{48}\quad =\quad \frac{33x}{48}$

De donde:

$\frac{33x}{48}\ =\ 330\quad \Rightarrow \quad 33x\ =\ 330\times 48\quad \Rightarrow \quad x\ =\ \frac{330\times 48}{33}\quad \Rightarrow $

$\Rightarrow \quad x\ =\ \frac{33\times 10\times 48}{33}\quad \Rightarrow \quad x\ =\ 480$