172. La función:

$f\left( x \right)=\frac{3}{1+3{{x}^{2}}}$

a) Es discontinua en $x=0$

b) Es discontinua en $x=-1$

c) Es continua en todos los puntos

La función $f\left( x \right)$ es una función racional, un cociente de polinomios, por lo que existe, es continuas y derivable en todos los puntos, excepto en “los ceros del denominador”.

Determinemos entonces los valores que anulan el denominador:

$1+3{{x}^{2}}=0\quad \Rightarrow \quad 3{{x}^{2}}=-1\quad \Rightarrow \quad {{x}^{2}}=-\frac{1}{3}$

Pero no existe ningún número real que elevado al cuadrado devuelva una cantidad negativa $\Rightarrow $ no existe ningún “cero del denominador” $\Rightarrow $ la función existe, es continua y derivable en todos los puntos $(\forall x\in \mathbb{R})$.

En especial, según hemos dicho, es continua para todo valor de x, por lo que "se puede pintar la gráfica sin levantar el lápiz del papel":