171. Cuando $x\to 0$ la función:

$f\left( x \right)=\frac{2{{x}^{2}}-3x+2}{x}-\frac{3{{x}^{3}}+2}{x}$

tiene límite:

a) 2

b) -3

c) 0

La función $f\left( x \right)$ es la diferencia de dos funciones racionales, dos cocientes de polinomios, por lo que existen, son continuas y derivables en todos los puntos, excepto en “los ceros del denominador”.

Dado que debemos calcular el límite en $x=0$, el “cero del denominador” de ambas expresiones racionales (el valor que anula los dos denominadores), calcularemos la diferencia antes de tratar de calcular el límite:

$f\left( x \right)=\quad \frac{2{{x}^{2}}-3x+2}{x}-\frac{3{{x}^{3}}+2}{x}\quad =\quad \frac{2{{x}^{2}}-3x+2-3{{x}^{3}}-2}{x}\quad =$

$=\quad \frac{-3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-3x}{x}$

Ahora la función $f\left( x \right)=\frac{-3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-3x}{x}$ es una función racional, un cociente de polinomios, por lo que existe, es continua y derivable en todos los puntos, excepto en “los ceros del denominador”.

Debemos calcular el límite en el “cero del denominador”, y si tratamos de calcularlo haciendo $x=0$ obtenemos $\frac{0}{0}$ que es una indeterminación. Necesitamos “resolver” dicha indeterminación para poder calcular el límite pedido.

Pero una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ que proviene de un cociente de polinomios nos está indicando que existe un factor común al numerador y al denominador, en concreto el factor $x-0$, es decir $x$ (porque estamos calculando el límite en $x=0$). Identifiquemos por lo tanto dicho factor común para poder simplificarlo:

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-3{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-3x}{x}\quad =\quad \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\not{x}(-3{{x}^{2}}+2x-3)}{{\not{x}}}\quad =$

$=\quad \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(-3{{x}^{2}}+2x-3)\quad =\quad -3$

Porque, tras resolver la indeterminación, finalmente hemos calculado el límite de una función polinómica, que existe, es continua y derivable en todos los puntos, y además se cumple que para calcular el límite pedido es suficiente con darle a $x$ el valor que nos interesa $x=0$.