169. La recta que pasa por los puntos $A\ \left( 1,-2 \right)$, $B\ \left( 3,1 \right)$ y la recta que pasa por los puntos $C\ \left( 0,1 \right)$, $D\ \left( 3,-1 \right)$ son:

a) perpendiculares

b) paralelas

c) no son ni paralelas ni perpendiculares

Si es una recta tendrá de ecuación $y=mx+n$ donde m es la pendiente de la recta (mide la inclinación) y n es la ordenada en el origen (indica el punto de corte de la recta con el eje vertical de ordenadas).

Calculemos primero la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A\ \left( 1,-2 \right)$ y $B\ \left( 3,1 \right)$:

si la recta pasa por el punto $\left( 1,-2 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta: $-2=m\times (1)+n\quad \Rightarrow \quad -2=m+n$

igualmente si pasa por el punto $\left( 3,1 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta: $1=m\times (3)+n\quad \Rightarrow \quad 1=3m+n$.

Como pasa por ambos puntos, deben cumplirse ambas condiciones y obtenemos un sistema de ecuaciones cuya solución nos dará los valores de m y n:

y sustituyendo en alguna de las ecuaciones:

$-2=m+n\quad \Rightarrow \quad -2=\frac{3}{2}+n\quad \Rightarrow \quad -2-\frac{3}{2}=n\quad \Rightarrow $

$\Rightarrow \quad -\frac{4}{2}-\frac{3}{2}=n\quad \Rightarrow \quad \frac{-4-3}{2}=n\quad \Rightarrow \quad \frac{-7}{2}=n$

Por lo que la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A\ \left( 1,-2 \right)$ y $B\ \left( 3,1 \right)$ es:

$y=mx+n\quad \Rightarrow \quad y=\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}$

De igual manera calcularemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos $C\ \left( 0,1 \right)$ y $D\ \left( 3,-1 \right)$:

si la recta pasa por el punto $\left( 0,1 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta: $1=m\times (0)+n\quad \Rightarrow \quad 1=n$

igualmente si pasa por el punto $\left( 3,-1 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta: $-1=m\times (3)+n\quad \Rightarrow \quad -1=3m+n$.

Como pasa por ambos puntos, deben cumplirse ambas condiciones y obtenemos un sistema de ecuaciones cuya solución nos dará los valores de m y n:

 Por lo que la ecuación de la recta que pasa por los puntos $C\ \left( 0,1 \right)$ y $D\ \left( 3,-1 \right)$ es:

$y=mx+n\quad \Rightarrow \quad y=\left( \frac{-2}{3} \right)\cdot x+1\quad \Rightarrow \quad y=-\frac{2}{3}x+1$

Analizando las ecuaciones de las dos rectas, $y=\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}$ y $y=-\frac{2}{3}x+1$, se observa que la pendiente de la primera es $m=\frac{3}{2}$ y la pendiente de la segunda es $m'=-\frac{2}{3}$, es decir, las pendientes son opuestas e inversas, por lo que se trata de dos rectas perpendiculares.