162. El valor de $x$ para que los puntos $\left( 2,2 \right)$, $\left( 4,x \right)$ y $\left( 0,-4 \right)$, estén alineados es

a) 6

b) 8

c) 3

Buscamos el valor de $x$ para que el punto $\left( 4,x \right)$ esté alineado con los puntos $\left( 2,2 \right)$ y $\left( 0,-4 \right)$.

Los puntos que estén alineados con $\left( 2,2 \right)$ y $\left( 0,-4 \right)$ deben cumplir la ecuación de la recta que pasa por $\left( 2,2 \right)$ y$\left( 0,-4 \right)$. Calculemos por tanto la ecuación de dicha recta:

Al ser una recta del plano tendrá de ecuación $y=mx+n$.

Dado que pasa por el punto $\left( 2,2 \right)$, las coordenadas de este punto deben cumplir la ecuación de la recta: $2=m\times \left( 2 \right)+n$

Dado que pasa por el punto $\left( 0,-4 \right)$, las coordenadas de este punto deben cumplir la ecuación de la recta: $-4=m\times \left( 0 \right)+n$

Como pasa por ambos puntos, deben cumplirse ambas condiciones y obtenemos un sistema de ecuaciones cuya solución nos dará los valores de m y n:

y sustituyendo en la otra ecuación:

$2=2m+n\quad \Rightarrow \quad 2=2m+\left( -4 \right)\quad \Rightarrow \quad 2+4=2m\quad \Rightarrow $

$\Rightarrow \quad 6=2m\quad \Rightarrow \quad \frac{6}{2}=m\quad \Rightarrow 3=m$

Por lo tanto, la ecuación de la recta que pasa por los puntos $\left( 2,2 \right)$ y $\left( 0,-4 \right)$ es $y=3x-4$ y estarán alineados con ellos todos los puntos que cumplan dicha ecuación.

El punto que buscamos $\left( 4,x \right)$ debe estar alineado con ellos y, por lo tanto, debe cumplir dicha ecuación:

$y=3x-4\quad \Rightarrow \quad y=3\times 4-4\quad \Rightarrow \quad y=12-4\quad \Rightarrow \quad $

$\quad \Rightarrow \quad y=8$

Otra manera de comprobar si tres puntos están alineados, aunque menos intuitiva geométricamente hablando, es recordar que “tres puntos $\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)$, $\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)$ y $\left( {{x}_{3}},{{y}_{3}} \right)$ están alineados si $\frac{{{y}_{3}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{3}}-{{x}_{1}}}=\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}$ o bien ${{x}_{1}}={{x}_{2}}={{x}_{3}}$”.

Y en nuestro caso tendríamos, dado que los puntos son $\left( 2,2 \right)$, $\left( 0,-4 \right)$ y $\left( 4,x \right)$:

$\frac{x-2}{4-2}=\frac{-4-2}{0-2}\quad \Rightarrow \quad \frac{x-2}{2}=\frac{-6}{-2}\quad \Rightarrow \quad \frac{x-2}{2}=3\quad \Rightarrow $

$\Rightarrow \quad x-2=3\times 2\quad \Rightarrow \quad x-2=6\quad \Rightarrow \quad x=6+2\quad \Rightarrow \quad $

$\quad \Rightarrow \quad x=8$