141. Si $A$ y $B$ son dos conjuntos tales que $B-A=B$, se cumple:

a) $\#(B)-\#(A)=\#(A\cap B)$

b) $\#(A)+\#(B)=\#(A\cup B)$

c) $\#(B)-\#(A)=\#(B)$

Siendo $A$ y $B$ dos conjuntos cualesquiera, siempre se puede hacer una partición del conjunto universal en 4 subconjuntos disjuntos (sin elementos en común), 4 partes, definidas cada una de ellas en función de que sus elementos pertenezcan o no a $A$ y a $B$. Así tendremos:

$(1)=A\cap B\quad \Rightarrow $ elementos comunes a $A$ y a $B$

$(2)=A\cap {{B}^{C}}\quad \Rightarrow $ elementos a $A$, pero fuera de $B$

$(3)={{A}^{C}}\cap B\quad \Rightarrow $ elementos de $B$, pero fuera de $A$

$(4)={{A}^{C}}\cap {{B}^{C}}\quad \Rightarrow $ elementos fuera de $A$ y de $B$

Empleando esta partición, podemos determinar que:

$B-A=(3)={{A}^{C}}\cap B$: elementos de $B$, pero fuera de $A$

Observando dicha partición y considerando la condición del enunciado:

$B-A\ =\ (3)\ =\ B\ =\ (3)\cup (1)\quad \Rightarrow \quad (1)\ =\ A\cap B\ =\ \varnothing $

Siempre se cumple:

$\#(A\cup B)\ =\ \#(A)+\#(B)-\#(A\cap B)$

Por lo que en este caso:

$\#(A\cup B)\ =\ \#(A)+\#(B)-\#(A\cap B)\ =$

$=\ \#(A)+\#(B)-\#(\varnothing )\ =\ \#(A)+\#(B)+0\ =$

$=\ \#(A)+\#(B)$