135. De una urna que contiene 4 bolas azules y 5 rojas, se extraen dos bolas sucesivamente, sin devolver la primera a la urna. La probabilidad de que la segunda bola sea roja es:

a) ${5}/{8}\;$

b) ${5}/{9}\;$

c) ${3}/{5}\;$

Sólo hay dos maneras de que la segunda bola extraída sea roja: o bien la primera bola es roja y la segunda también; o bien la primera bola es azul y la segunda roja; y no se pueden dar al mismo tiempo, por lo que podremos aplicar la fórmula de la Probabilidad Total.

Si denominamos:

${{a}_{1}}\equiv $ “la primera bola extraída es azul”

${{r}_{1}}\equiv $ “la primera bola extraída es roja”

${{r}_{2}}\equiv $ “la segunda bola extraída es roja”

aplicando la fórmula de la Probabilidad Total tendremos:

$P({{r}_{2}})=P({{r}_{1}}\cap {{r}_{2}})+P\left( {{a}_{1}}\cap {{r}_{2}} \right)=$

$=P\left( {{r}_{1}} \right)P\left( {{r}_{2}}/{{r}_{1}} \right)+P\left( {{a}_{1}} \right)P\left( {{r}_{2}}/{{a}_{1}} \right)$

Calcularemos cada una de dichas probabilidades aplicando fijándonos en la composición de la urna en cada momento y la fórmula de Laplace:

$P\left( A \right)=\frac{\text{n }\!\!{}^\text{o}\!\!\text{ }\ \text{casos}\ \text{favorables}}{\text{n }\!\!{}^\text{o}\!\!\text{ }\ \text{casos}\ \text{posibles}}$

En el momento inicial la urna tiene 9 bolas, de las que 4 bolas son azules y 5 rojas, por lo que:

$P\left( {{r}_{1}} \right)=\frac{5}{9}\quad \text{y}\quad P\left( {{a}_{1}} \right)=\frac{4}{9}$

Si la primera bola extraída es roja, quedan 8 bolas, de las que 4 bolas son azules y 4 rojas, por lo que:

$P\left( {{r}_{2}}/{{r}_{1}} \right)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

Si la primera bola extraída es azul, quedan 8 bolas, de las que 3 bolas son azules y 5 rojas, por lo que:

$P\left( {{r}_{2}}/{{a}_{1}} \right)=\frac{5}{8}$

Luego la probabilidad pedida quedará:

$P({{r}_{2}})=P\left( {{r}_{1}} \right)P\left( {{r}_{2}}/{{r}_{1}} \right)+P\left( {{a}_{1}} \right)P\left( {{r}_{2}}/{{a}_{1}} \right)=$