129. La recta que pasa por los puntos $\left( -2,-1 \right)$ y $\left( -1,1 \right)$ y la recta que pasa por los puntos $\left( 1,1 \right)$ y $\left( 2,3 \right)$ son:

a) perpendiculares

b) paralelas

c) no son ni paralelas ni perpendiculares

Si es una recta tendrá de ecuación $y=mx+n$ donde m es la pendiente de la recta (mide la inclinación) y n es la ordenada en el origen (indica el punto de corte de la recta con el eje vertical de ordenadas).

Calculemos primero la ecuación de la recta que pasa por los puntos $\left( -2,-1 \right)$ y $\left( -1,1 \right)$:

si la recta pasa por el punto $\left( -2,-1 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta: $-1=m\times (-2)+n\quad \Rightarrow \quad -1=-2m+n$

igualmente si pasa por el punto $\left( -1,1 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta: $1=m\times (-1)+n\quad \Rightarrow \quad 1=-m+n$.

Como pasa por ambos puntos, deben cumplirse ambas condiciones y obtenemos un sistema de ecuaciones cuya solución nos dará los valores de m y n:

y sustituyendo en alguna de las ecuaciones:

$1=-m+n\quad \Rightarrow \quad 1=-2+n\quad \Rightarrow \quad 1+2=n\quad \Rightarrow \quad 3=n$

Por lo que la ecuación de la recta que pasa por los puntos $\left( -2,-1 \right)$ y $\left( -1,1 \right)$ es:

$y=mx+n\quad \Rightarrow \quad y=\left( 2 \right)\cdot x+3\quad \Rightarrow \quad y=2x+3$

De igual manera calcularemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos $\left( 1,1 \right)$ y $\left( 2,3 \right)$:

si la recta pasa por el punto $\left( 1,1 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta: $1=m\times (1)+n\quad \Rightarrow \quad 1=m+n$

igualmente si pasa por el punto $\left( 2,3 \right)$, las coordenadas del punto deben cumplir la ecuación de la recta: $3=m\times (2)+n\quad \Rightarrow \quad 3=2m+n$.

Como pasa por ambos puntos, deben cumplirse ambas condiciones y obtenemos un sistema de ecuaciones cuya solución nos dará los valores de m y n:

y sustituyendo en alguna de las ecuaciones:

$1=m+n\quad \Rightarrow \quad 1=2+n\quad \Rightarrow \quad 1-2=n\quad \Rightarrow \quad -1=n$

Por lo que la ecuación de la recta que pasa por los puntos $\left( 1,1 \right)$ y $\left( 2,3 \right)$ es:

$y=mx+n\quad \Rightarrow \quad y=\left( 2 \right)\cdot x-1\quad \Rightarrow \quad y=2x-1$

Analizando las ecuaciones de las dos rectas, $y=2x+3$ y $y=2x-1$, se observa que en ambas $m=2$, es decir, las dos rectas tienen la misma pendiente, la misma inclinación, por lo que se trata de dos rectas paralelas.