126. La perpendicular a la recta $x-3y+2=0$ por el punto $(1,1)$ tiene por ecuación:

a) $y=-3x+3$

b) $3x-y-2=0$

c) $y+3x-4=0$

Si la ecuación de una recta viene dada por (tiene la forma de) $y=mx+n$, m es la pendiente de la recta (mide su inclinación) y n es la ordenada en el origen (indica el punto de corte de la recta con el eje vertical de ordenadas).

Si dos rectas son perpendiculares, existe una clara  relación entre sus pendientes. Si una de ella tiene por pendiente $m=a$, sus perpendiculares tendrán por pendiente $m'=-\frac{1}{a}$, es decir, son opuestas e inversas.

Calculemos la pendiente de la recta $x-3y+2=0$:

$x-3y+2=0\quad \Rightarrow \quad x+2=3y\quad \Rightarrow \quad \frac{x+2}{3}=y\quad \Rightarrow $

$\Rightarrow \quad \frac{x}{3}+\frac{2}{3}=y\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{3}x+\frac{2}{3}=y$

Por lo tanto la pendiente de dicha recta es $m=\frac{1}{3}$ y la de todas sus perpendiculares será $m'=-3$ (opuesta e inversa).

Así que la recta buscada será $y=-3x+n$ y calcularemos el valor de $n$ aprovechando la información de que pasa por el punto $(1,1)$, es decir, que sus coordenadas deben cumplir dicha ecuación:

$1=(-3)\times 1+n\quad \Rightarrow \quad 1=-3+n\quad \Rightarrow $

$\Rightarrow \quad 1+3=n\quad \Rightarrow \quad 4=n$

Y la perpendicular buscada es $y=-3x+4$, que también se puede escribir como:

$y=-3x+4\quad \Rightarrow \quad y+3x-4=0$