103. Si $A$ y $B$ son dos conjuntos, ${{\left( A-B \right)}^{C}}$ es igual a

a) ${{A}^{C}}-{{B}^{C}}$

b) ${{A}^{C}}\cup B$

c) $B-A$ 

Siendo $A$ y $B$ dos conjuntos cualesquiera, siempre se puede hacer una partición del conjunto universal en 4 subconjuntos disjuntos (sin elementos en común), 4 partes, definidas cada una de ellas en función de que sus elementos pertenezcan o no a $A$ y a $B$. Así tendremos:

$\left( 1 \right)=A\cap B\quad \Rightarrow $ elementos comunes a $A$ y a $B$

$\left( 2 \right)=A\cap {{B}^{c}}\quad \Rightarrow $ elementos de $A$, pero fuera de $B$

$\left( 3 \right)={{A}^{c}}\cap B\quad \Rightarrow $ elementos de $B$, pero fuera de $A$

$\left( 4 \right)={{A}^{c}}\cap {{B}^{c}}\quad \Rightarrow $ elementos fuera de $A$ y de $B$

Empleando esta partición, podemos determinar que:

$A-B=\left( 2 \right)=A\cap {{B}^{c}}$ : elementos de $A$, pero fuera de $B$

Por lo que su complementario (todo lo demás) será:

${{\left( A-B \right)}^{C}}=\left( 1 \right)\cup \left( 3 \right)\cup \left( 4 \right)$

Mientras que:

$A=\left( 1 \right)\cup \left( 2 \right)$

${{A}^{C}}=\left( 3 \right)\cup \left( 4 \right)$ : elementos fuera de $A$

$B=\left( 1 \right)\cup \left( 3 \right)$

${{B}^{C}}=\left( 2 \right)\cup \left( 4 \right)$ : elementos fuera de $B$

Por lo que:

${{A}^{C}}-{{B}^{C}}=\left( \left( 3 \right)\cup \left( 4 \right) \right)-\left( \left( 2 \right)\cup \left( 4 \right) \right)=\left( 3 \right)$

${{A}^{C}}\cup B=\left( 3 \right)\cup \left( 4 \right)\cup \left( 1 \right)\cup \left( 3 \right)=\left( 1 \right)\cup \left( 3 \right)\cup \left( 4 \right)$

$B-A=\left( \left( 1 \right)\cup \left( 3 \right) \right)-\left( \left( 1 \right)\cup \left( 2 \right) \right)=\left( 3 \right)$

Y comparando los distintos resultados, tenemos:

${{\left( A-B \right)}^{C}}=\left( 1 \right)\cup \left( 3 \right)\cup \left( 4 \right)={{A}^{C}}\cup B$