104. ¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular a la recta $2x-3y=0$?

a) $2y+3x-4=0$

b) $3x-2y=0$

c) $y=\frac{1}{2}x+1$ 

Si la ecuación de una recta viene dada por (tiene la forma de) $y=mx+n$, m es la pendiente de la recta (mide su inclinación) y n es la ordenada en el origen (indica el punto de corte de la recta con el eje vertical de ordenadas).

Si dos rectas son perpendiculares, existe una clara  relación entre sus pendientes. Si una de ella tiene por pendiente $m=a$, sus perpendiculares tendrán por pendiente $m'=-\frac{1}{a}$, es decir, son opuestas e inversas.

En la recta $2x-3y=0$:

$2x-3y=0\quad \Rightarrow \quad -3y=-2x\quad \Rightarrow \quad 3y=2x\quad \Rightarrow $

$\Rightarrow \quad y=\frac{2x}{3}\quad \Rightarrow \quad y=\frac{2}{3}x$

la pendiente es $m=\frac{2}{3}$, y la pendiente de todas sus perpendiculares será $m'=-\frac{3}{2}$ (opuesta e inversa).

Si analizamos las pendientes de las tres rectas propuestas:

a)$2y+3x-4=0\quad \Rightarrow \quad 2y=-3x+4\quad \Rightarrow $$\Rightarrow \quad y=\frac{-3x+4}{2}\quad \Rightarrow \quad y=\frac{-3x}{2}+\frac{4}{2}\quad \Rightarrow $

$\Rightarrow \quad y=-\frac{3}{2}x+2\quad \Rightarrow \quad $pendiente $m=-\frac{3}{2}\quad \Rightarrow $ sí es perpendicular

b) $3x-2y=0\quad \Rightarrow \quad -2y=-3x\quad \Rightarrow \quad 2y=3x\quad \Rightarrow $

$\Rightarrow \quad y=\frac{3x}{2}\quad \Rightarrow \quad y=\frac{3}{2}x\quad \Rightarrow $ pendiente $m=\frac{3}{2}\quad \Rightarrow $ no es perpendicular

c) $y=\frac{1}{2}x+1\quad \Rightarrow $ pendiente $m=\frac{1}{2}\quad \Rightarrow $ no es perpendicular