122. De una urna que contiene 2 bolas azules y 3 rojas se extraen dos bolas sucesivamente, sin devolver la primera a la urna. La probabilidad de que alguna de las bolas sea azul es:

a) 0,5

b) 0,6

c) 0,7

Sea $A$ el suceso “obtener alguna bola azul”, su contrario $\left( {{A}^{C}} \right)$ será el suceso “no obtener ninguna bola azul”, es decir, “obtener 2 bolas rojas”. Y siempre se cumple $P\left( A \right)=1-P\left( {{A}^{C}} \right)$.

Si denominamos:

${{A}^{C}}\equiv $ “obtener 2 bolas rojas”

${{r}_{1}}\equiv $ “la primera bola extraída es roja”

${{r}_{2}}\equiv $ “la segunda bola extraída es roja”

Para que se dé ${{A}^{C}}$, deben darse ${{r}_{1}}\quad \text{y}\quad {{\text{r}}_{2}}$, es decir: ${{A}^{C}}={{r}_{1}}\cap {{r}_{2}}$.

Siempre se cumple:

$P\left( A\cap B \right)=P\left( A \right)P\left( B/A \right)$

Luego en nuestro caso: $P({{A}^{C}})=P({{r}_{1}}\cap {{r}_{2}})=P\left( {{r}_{1}} \right)P\left( {{r}_{2}}/{{r}_{1}} \right)$

Calculemos por tanto cada una de ellas.

$P\left( {{r}_{1}} \right)\equiv P\left( \text{1 }\!\!{}^\text{a}\!\!\text{  bola roja} \right)$, de una urna con 2 bolas azules y 3 rojas. Y aplicando la regla de Laplace:

$P({{r}_{1}})=\frac{\text{n}{}^\circ \ \text{casos favorables}}{\text{n}{}^\circ \ \text{casos posibles}}=\frac{3}{5}$

$P\left( {{r}_{2}}/{{r}_{1}} \right)\equiv P\left( \text{2 }\!\!{}^\text{a}\!\!\text{  bola roja}\text{, sabiendo que la 1 }\!\!{}^\text{a}\!\!\text{  fue roja} \right)$, es decir, de una urna con 2 bolas azules y 2 rojas. Y aplicando la regla de Laplace:

$P({{r}_{2}}/{{r}_{1}})=\frac{\text{n}{}^\circ \ \text{casos favorables}}{\text{n}{}^\circ \ \text{casos posibles}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

Con lo cual:

$P({{A}^{C}})=P\left( {{r}_{1}} \right)P\left( {{r}_{2}}/{{r}_{1}} \right)=\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{10}$

Por lo que, la probabilidad pedida será:

$P\left( A \right)=1-P\left( {{A}^{C}} \right)=1-\frac{3}{10}=\frac{10}{10}-\frac{3}{10}=\frac{10-3}{10}=\frac{7}{10}=0,7$