121. Si $A$ y $B$ son dos conjuntos tales que $A\cup B=B$, se cumple

a) $A\subset B$

b) $B\cup A=A$

c) ${{A}^{C}}\cap {{B}^{C}}=\varnothing $

Siendo $A$ y $B$ dos conjuntos cualesquiera, siempre se puede hacer una partición del conjunto universal en 4 subconjuntos disjuntos (sin elementos en común), 4 partes, definidas cada una de ellas en función de que sus elementos pertenezcan o no a $A$ y a $B$. Así tendremos:

$\left( 1 \right)=A\cap B\quad \Rightarrow $ elementos comunes a $A$ y a $B$

$\left( 2 \right)=A\cap {{B}^{c}}\quad \Rightarrow $ elementos de $A$, pero fuera de $B$

$\left( 3 \right)={{A}^{c}}\cap B\quad \Rightarrow $ elementos de $B$, pero fuera de $A$

$\left( 4 \right)={{A}^{c}}\cap {{B}^{c}}\quad \Rightarrow $ elementos fuera de $A$ y de $B$

Empleando esta partición, podemos determinar que:

$A\cup B=\left( 1 \right)\cup \left( 2 \right)\cup \left( 3 \right)$

$B=\left( 1 \right)\cup \left( 3 \right)$

$A=\left( 1 \right)\cup \left( 2 \right)$

Y como en el caso que nos ocupa teníamos $A\cup B=B$, se cumple, empleando dicha partición:

$A\cup B=B\quad \Rightarrow \quad \left( 1 \right)\cup \left( 2 \right)\cup \left( 3 \right)=\left( 1 \right)\cup \left( 3 \right)\quad \Rightarrow \quad \left( 2 \right)=\varnothing $

Por lo que:

$A=\left( 1 \right)\cup \left( 2 \right)\quad \Rightarrow \quad A=\left( 1 \right)$

Y tendremos:

$\left( 1 \right)\subset \left( 1 \right)\cup \left( 3 \right)\quad \Rightarrow \quad A\subset B=A\cup B$

También podíamos haber razonado recordando que siempre se cumple $A,B\subset A\cup B$ y que en nuestro caso $A\cup B=B$, luego:

$A\subset A\cup B=B\quad \Rightarrow \quad A\subset B$