112. En una tabla de frecuencias en la que aparecen las frecuencias relativas acumuladas

a) la suma de dichas frecuencias es 1.

b) la última de dichas frecuencias es 1.

c) la suma de dichas frecuencias es el número total de observaciones.

Supongamos que estamos analizando una variable estadística, $x$, de la que disponemos de $N$ observaciones, $N$ datos. Llamamos a $N$ tamaño muestral.

Los distintos datos observados, valores obtenidos, ordenados de menor a mayor si es posible, se representan por: ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{k}}$.

${{F}_{i}}$ es la frecuencia absoluta del valor ${{x}_{i}}$, es decir, el número de veces que se ha presentado el valor ${{x}_{i}}$. Lógicamente: ${{F}_{1}}+{{F}_{2}}+...+{{F}_{k}}=N$, porque si sumamos el número de veces que se presenta cada dato, tendremos el número total de datos.

${{f}_{i}}$ es la frecuencia relativa del valor ${{x}_{i}}$, y se define como una proporción entre el número de veces que se presenta el valor ${{x}_{i}}$ y el número total de datos, es decir ${{f}_{i}}=\frac{{{F}_{i}}}{N}$.

Lógicamente:

\[{{f}_{1}}+{{f}_{2}}+...+{{f}_{k}}=\frac{{{F}_{1}}}{N}+\frac{{{F}_{2}}}{N}+...+\frac{{{F}_{k}}}{N}=\]

\[=\frac{{{F}_{1}}+{{F}_{2}}+...+{{F}_{k}}}{N}=\frac{N}{N}=1\]

Es decir, la suma de todas las frecuencias relativas es 1.

${{N}_{i}}$ es la frecuencia absoluta acumulada del valor ${{x}_{i}}$, y se define como la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores menores o iguales que ${{x}_{i}}$, es decir: ${{N}_{i}}={{F}_{1}}+{{F}_{2}}+...+{{F}_{i}}$ (de las $N$ observaciones que tenemos, cuántas son menores o iguales a ${{x}_{i}}$).

Igualmente, ${{n}_{i}}$ es la frecuencia relativa acumulada del valor ${{x}_{i}}$, y se define como la suma de las frecuencias relativas de todos los valores menores o iguales que ${{x}_{i}}$, es decir: ${{n}_{i}}={{f}_{1}}+{{f}_{2}}+...+{{f}_{i}}$ (de las $N$ observaciones que tenemos, qué proporción de ellas son menores o iguales a ${{x}_{i}}$), o bien como ${{n}_{i}}=\frac{{{N}_{i}}}{N}$, una proporción entre la frecuencia absoluta acumulada del valor ${{x}_{i}}$ y el número total de datos.

Lógicamente ${{N}_{k}}$, la última de las frecuencias absolutas acumuladas, siempre cumplirá ${{N}_{k}}=N$, porque ${{x}_{k}}$ es el mayor de todos los valores, así que las observaciones menores o iguales que ${{x}_{k}}$ son “todas”, $N$.

Y por lo tanto, ${{n}_{k}}$, la última de las frecuencias relativas acumuladas, siempre cumplirá:

${{n}_{k}}=\frac{{{N}_{k}}}{N}=\frac{N}{N}=1$

Es decir, la última de las frecuencias relativas acumuladas siempre es 1.

Veámoslo tomando como ejemplo los datos de la entrada 109:

Los comercios de una pequeña ciudad se han agrupado según el número de dependientes, ${{x}_{i}}$, observándose frecuencias absolutas ${{F}_{i}}$ que indica la tabla:

${{x}_{i}}$	1	2	3	4
${{F}_{i}}$	36	24	12	8

En la distribución mencionada, el número total de observaciones (tamaño muestral) es de:

$N=36+24+12+8=80$

Por lo que la distribución con frecuencias relativas quedaría:

${{x}_{i}}$	1	2	3	4
${{f}_{i}}$	${36}/{80}\;$	${\text{24}}/{80}\;$	${\text{12}}/{80}\;$	${8}/{80}\;$

Es decir:

${{x}_{i}}$	1	2	3	4
${{f}_{i}}$	0.45	0.3	0.15	0.1

Y se cumple que $0.45+0.3+0.15+0.1=1$, es decir, la suma de todas las frecuencias relativas es 1.

Si calculamos ahora las frecuencias absolutas acumuladas la tabla quedaría:

${{x}_{i}}$	1	2	3	4
${{N}_{i}}$	36	24+36	12+24+36	8+12+24+36

Es decir:

${{x}_{i}}$	1	2	3	4
${{N}_{i}}$	36	60	72	80

Y se cumple que la última de las frecuencias absolutas acumuladas coincide con el tamaño muestral 80.

Mientras que si calculásemos las frecuencias relativas acumuladas tendríamos:

${{x}_{i}}$	1	2	3	4
${{n}_{i}}$	${}^{36}\!\!\diagup\!\!{}_{80}\;$	${}^{60}\!\!\diagup\!\!{}_{80}\;$	${}^{72}\!\!\diagup\!\!{}_{80}\;$	${}^{80}\!\!\diagup\!\!{}_{80}\;$

Es decir:

${{x}_{i}}$	1	2	3	4
${{n}_{i}}$	0.45	0.75	0.9	1

 Y se cumple que la última de las frecuencias relativas acumuladas es 1.