83. Si $A$ y $B$ son dos conjuntos, el conjunto $A\cup \left( {{B}^{c}}\cap A \right)$ es igual a

a) $A$

b) $A\cup {{B}^{c}}$

c) $A-B$

Siendo $A$ y $B$ dos conjuntos cualesquiera, siempre se puede hacer una partición del conjunto universal en 4 subconjuntos disjuntos (sin elementos en común), 4 partes, definidas cada una de ellas en función de que sus elementos pertenezcan o no a $A$ y a $B$. Así tendremos:

$\left( 1 \right)=A\cap B\quad \Rightarrow $ elementos comunes a $A$ y a $B$

$\left( 2 \right)=A\cap {{B}^{c}}\quad \Rightarrow $ elementos de $A$, pero fuera de $B$

$\left( 3 \right)={{A}^{c}}\cap B\quad \Rightarrow $ elementos de $B$, pero fuera de $A$

$\left( 4 \right)={{A}^{c}}\cap {{B}^{c}}\quad \Rightarrow $ elementos fuera de $A$ y de $B$

Empleando esta partición, podemos determinar que:

$A=\left( 1 \right)\cup \left( 2 \right)$

${{B}^{c}}=\left( 2 \right)\cup \left( 4 \right)$

Y así, el conjunto que nos interesa cumple:

${{B}^{c}}\cap A=\left( \left( 2 \right)\cup \left( 4 \right) \right)\cap \left( \left( 1 \right)\cup \left( 2 \right) \right)=\left( 2 \right)$

$A\cup \left( {{B}^{c}}\cap A \right)=\left( \left( 1 \right)\cup \left( 2 \right) \right)\cup \left( 2 \right)=\left( 1 \right)\cup \left( 2 \right)=A$