78. La expresión $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-1}{x-2}$ define una función $f:I\to \mathbb{R}$ si

a) $I=\left( -\infty ,2 \right]$

b) $I=\left( -\infty ,8 \right)$

c) $I=\left( 4,\infty  \right)$

Para que $f:I\to \mathbb{R}$ defina una función, debemos asegurarnos que $I$ esté incluido en el dominio de definición de $f\left( x \right)$, en el conjunto de números reales para los que “la función existe”, es decir, para los que $f\left( x \right)\in \mathbb{R}$ (se puede calcular $f\left( x \right)$ y el resultado es un número real).

Estudiemos por tanto el dominio de definición de $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-1}{x-2}$:

Se trata de una función racional, un cociente de polinomios, por lo que existe, es continua y derivable en todos los puntos, excepto en “los ceros del denominador”.

Determinemos entonces los puntos que anulan el denominador, los que quedarían excluidos del dominio:

$x-2=0\quad \Rightarrow \quad x=2$

Y el dominio de definición de $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-1}{x-2}$ es $D=\mathbb{R}-\left\{ 2 \right\}=\left( -\infty ,2 \right)\cup \left( 2,\infty  \right)$.

Por lo tanto, $f:I\to \mathbb{R}$ define una función siempre que $I\subset D$; en este caso en concreto, siempre que $I$ excluya el número 2.

Estudiemos las respuestas posibles:

$I=\left( -\infty ,2 \right]=\left\{ x\in \mathbb{R}/x\le 2 \right\}\quad \Rightarrow \quad 2\in I\quad \Rightarrow $ NO

$I=\left( -\infty ,8 \right)=\left\{ x\in \mathbb{R}/x<8 \right\}\quad \Rightarrow \quad 2\in I\quad \Rightarrow $ NO

$I=\left( 4,\infty  \right)=\left\{ x\in \mathbb{R}/x>4 \right\}\quad \Rightarrow \quad 2\notin I\quad \Rightarrow $ SÍ