77. Las rectas de ecuaciones $y=3x-2$ y $x+3y+5=0$ son:

a) paralelas

b) perpendiculares

c) no son ni paralelas ni perpendiculares

Toda ecuación de una recta se puede escribir como $y=mx+n$ (ecuación explícita) donde $m$ es la pendiente de la recta (mide la inclinación) y $n$ es la ordenada en el origen (indica el punto de corte de a recta con el eje vertical de ordenadas).

Dadas dos rectas, $y=mx+n$ y $y=m'x+n'$, serán paralelas si tienen la misma pendiente, la misma inclinación, $m=m'$; y serán perpendiculares si sus pendientes son “opuestas e inversas”, es decir $m=-\frac{1}{m'}$.

Busquemos las ecuaciones explícitas ($y=mx+n$) de las rectas que nos interesan para determinar sus pendientes:

$y=3x-2\quad \Rightarrow \quad m=3$

$x+3y+5=0\quad \Rightarrow \quad 3y=-x-5\quad \Rightarrow \quad y=\frac{-x-5}{3}\quad \Rightarrow $

$\Rightarrow \quad y=\frac{-x}{3}-\frac{5}{3}\quad \Rightarrow \quad y=-\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}\quad \Rightarrow \quad m'=-\frac{1}{3}$

Y tenemos $m=3$ y $m'=-\frac{1}{3}$, es decir, son “opuestas e inversas” $\left( m'=-\frac{1}{m} \right)$ por lo que ambas rectas son perpendiculares.