15. La aplicación $s:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ que asigna a cada elemento de $\mathbb{N}=\left\{ 0,1,2,3,... \right\}$ la suma de sus cifras

a) no es sobreyectiva

b) es sobreyectiva

c) no se puede saber

Para que sea sobreyectiva todo elemento del conjunto final debe ser imagen de al menos un elemento del conjunto inicial.

Es decir, si cogemos un elemento cualquiera del conjunto final $(y)$, tenemos que ser capaces de encontrar al menos un elemento del conjunto inicial ($x$) siendo $y$ la imagen de $x$, es decir $s(x)=y$, es decir $x\to y$.

En nuestro caso, si cogemos un número natural cualquiera del conjunto final ($y$), tenemos que ser capaces de encontrar al menos un número natural del conjunto inicial ($x$) siendo $y$ la suma de las cifras de $x$ (su imagen).

Una opción puede ser, dado un número natural cualquiera del conjunto final $y$ (por ejemplo 10) tomar como número natural del conjunto inicial $x$ el que esté formado por $y$ “unos” (en el ejemplo 1111111111). Así tenemos la certeza de que la suma de las cifras de $x$ es $y$ ($1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10$ en el ejemplo). Ciertamente también será imagen de 55, porque $5+5=10$, pero con el sistema propuesto tenemos la certeza de “encontrar al menos un número natural del conjunto inicial ($x$) siendo $y$ la suma de las cifras de $x$ (su imagen)”.

Y como podemos hacerlo cualquiera que sea $y$ del conjunto final, concluimos que $s:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ sí es sobreyectiva.